Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
стотысячных долей градуса в сутки.
§ 3.14. Сводка формул
В этом параграфе мы приведем формулы, позволяющие находить прямоугольные
координаты спутника для произвольного момента времени t.
1. Определение ф и Е:
М = n0(t- t0) + М0, (3.14.1)
Е = М + е* sin Е + Яф - %'2 sin 2 (ф + со) -
- ^ cos (ф + ш), (3.14.2)
со = уф + со0,
<ЗЛ4-3>
где n0, е*, е, К, К'2, v даются формулами § 3.8 и 3.13.
Вычисление ф и Е производится методом последовательных приближений,
причем в качестве нулевого приближения можно взять
¦ф = Е = М.
2. Определение ? и 0:
1 = а (1 - е cos Е),
0 = ф + ш + sin 2 (ф -f со) -^2- (1 -f v) sin 2ф, (3.14.4)
где к\ и к\ находятся по формулам § 3.7.
3. Определение Й, р и р':
Q = ц-ф 4- Q0 4- sin ^ 4- М-2 sin 2^ -f-
-f- |i3 sin Зф -j- cos (i|) -j- со), (3.14.5) 1A(1-e2a2)(g2 + c2) g
P 14dsin0 ' P ~ l+dsin0 '
где |i, [ij, jx2, |i3 (i| и d даются формулами § 3.9 и 3.7.
i 3.15]
ЭЙЛЕРОВО И КЕПЛЕРОВО ДВИЖЕНИЯ
99
4. Определение прямоугольных координат:
х = р (cos 0 cos Q - a sin 0 sin Q - |3sinQ), 4
y = p(cos0sinQ + asin9cos^ + Pcos^)i f (3.14.7)
z = cor f p' (ssin 0 -f 7), J
где p и Y должны вычисляться no формулам § 3.7.
Отброшенные здесь периодические члены могут дать ошибку около 1 м.
§ 3.15. Эйлерово и кеплерово движения.
Элементы орбиты
Рассматриваемое здесь промежуточное движение, которое определяется
силовой функцией обобщенной задачи двух неподвижных центров, будем
называть в дальнейшем эйлеровым движением. Промежуточную орбиту спутника,
соответствующую этому движению, назовем эйлеровой орбитой *).
Выведенные в этой главе формулы эйлерова движения содержат следующие
произвольные постоянные или элементы орбиты:
а, е, i, (Do, G0, Несогласно § 2.5 и 3.7 элементы а, е, i могут принимать
все возможные значения из области
а > 0, 0 < е < 1, 0°^ ?г^180°.
Очевидно, для угловых элементов со0, Q0, М0 мы имеем 0° < со0 < 360°, 0°
< ?20 < 360°, °° < мо < 360°-
Элементы а, е, i полностью определяют ту ограниченную область
пространства, в которой происходит движение спутника (см. § 2.7 и 3.7).
Они характеризуют размеры и форму орбиты и максимальное удаление спутника
от плоскости экватора. Элементы сос, й0 и М0 определяют главным образом
положение спутника на орбите.
*) Леонард Эйлер (1707-1783) был первым, кто дал постановку задачи двух
неподвижных центров и нашел ее решение в плоском случае.
7*
100 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [гл. III
Рассмотрим теперь один предельный случай. Пусть в формуле (1.9.1) с - 0 и
а = 0. Тогда
W = ^т
г
и дифференциальные уравнения движеиия спутника будут иметь вид
d2x _ fmx d2y _____ fmy d2z _____ fmz
dt 2 r3 ' d№ ' dfl r3
Движение, определяемое этими уравнениями, называется невозмущенным
кеплеровым движением. Формулы, описывающие невозмущенное движение, можно
легко получить из формул эйлерова движения, если положить в последних е =
0и ст = 0. В результате будем иметь
х г (cos 0 cos Q0 - cos i sin 0 sin Q0), у = r (cos 0 sin Q0 -f- cos i
sin 0 cos Q0), z = r sin i sin 0, r=.a(i - ecosE),
6 = Ц + (c)o, *т=/Йг^-г*
E - e sin E = M,
M = n0(t - tQ) + M0,
""=/?¦
Невозмущенная кеплерова орбита спутника является более простой кривой,
чем промежуточная эйлерова орбита. Она представляет собой эллипс с
большой полуосью а и эксцентриситетом е (рис. 16). Положение плоскости
невозмущенной орбиты определяют углы Q0 и i, которые называются
соответственно долготой восходящего узла и наклоном орбиты. Ориентацию
эллипса в плоскости орбиты определяет элемент со0, который называется
угловым расстоянием перигея от узла или аргументом перигея. Перигей - это
точка орбиты, наименее удаленная от центра масс Земли О (рис. 17).
Величины М, Е и я|з называются соответственно средней аномалией,
эксцентриче-
§ 3.15]
ЭЙЛЕРОВО И КЕПЛЕРОВО ДВИЖЕНИЯ
101
ской анамалией и истинной аномалией. Шестым элементом невозмущенного
движения является средняя аномалия в эпоху М0. Этот элемент определяет
положение спутника на орбите в начальный момент времени или эпоху t - t0.
Угол 0 = г]5 + со0 называется аргументом широты.
Таким образом, при с = 0 и а = 0 эйлеровы элементы а, е, i, Я0, о)0 и М0
переходят соответственно в большую полуось, эксцентриситет, наклон,
долготу узла, аргумент
перигея и среднюю аномалию в эпоху кеплеровой орбиты. При этом я]?, 0, Е
и М превращаются соответственно в истинную аномалию, аргумент широты,
эксцентрическую и среднюю аномалии.
Кеплерова орбита играет чрезвычайно важную роль в небесной механике. Она
часто используется как орбита первого приближения при исследовании
движения многих небесных тел. Применение кеплеровых элементов для
построения теории движения небесного тела особенно эффективно в том
случае, когда возмущения в его движении малы, т. е. когда его движение
мало отличается от эллиптического. К таким случаям прежде всего относятся
большие планеты Солнечной системы. Однако если возмущения кеплеровых
элементов велики, то в качестве орбиты первого приближения приходится
