Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
йЧ dW dR . р
dt% дх dx х'
d2y ________ dW ____________ dR , p
dfi dy dy f
(2.1.5)
tfiz dW _____\dR I p > j
dfi dz dz z' J
где
R = Rt -f- R L -f- R s-Формула для RT приводится в § 1.12. Явные
выражения для Rl, Rs и Fx, Fv, Fг мы дадим в тех главах, где будем
рассматривать влияние соответствующих возмущающих факторов. Заметим лишь,
что для близких ИСЗ функции Rl и Rs имеют примерно тот же порядок
малости, что и функция RT. Что касается Fx, Fy, Fz, то их величина
зависит не только от высоты перигея орбиты, но и от массы и площади
поперечного сечения спутника. Однако для большинства ИСЗ возмущения,
вызываемые сопротивлением атмосферы и световым давлением, можно
рассматривать как возмущения второго порядка относительно сжатия Зедош.
В дальнейшем уравнения (2.1.5) мы будем называть уравнениями возмущенного
движения, а функцию R - возмущающей функцией. Если в этих уравнениях
положить R = 0 и Fx = Fy = Fz = 0, то полученные уравнения
d^x__dW_ d^__dW_ 1
d/2 - dx ' dt2 ~~ dy ' dt2 dz ' ' '
§ 2.2] УРАВНЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
49
можно назвать уравнениями промежуточного движения, поскольку они имеют
промежуточный характер между уравнениями возмущенного движения и
уравнениями невозмущенного движения. Очевидно, последние имеют вид
(2.1.6), если в качестве W взять функцию fmlr. Движения, описываемые
уравнениями (2.1.6), будем называть промежуточными движениями, а
соответствующие им орбиты - промежуточными орбитами.
§ 2.2. Интегрирование уравнений
промежуточного движения
В настоящем параграфе мы сведем дифференциальные уравнения (2.1.6) к
квадратурам, которые и будут в дальнейшем использованы для построения
промежуточной орбиты спутника. Для этого мы воспользуемся методом
Гамильтона - Якоби и сфероидальными координатами 1, г], w, которые
связаны с прямоугольными координатами х, у, z формулами
Согласно § 1.9 в уравнениях (2.1.6) функция ^определяется так:
Поэтому в новых координатах функция W запишется в виде
Х = /(?2 + с2)(1-^2) COS W, ^
где
ri = Vx2 + y2 + [z - с(а -j-i)]2,
r2 = j/х2-\- у2-}- [z - c(a - i)]2.
(2.2.2)
где
J = I2 -f С2Г|2.
4 E. П. Аксенов
50
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. И
Пусть теперь Т - кинетическая энергия спутника:
Т = у (,z2 + i/2 + z2).
В координатах |, т], го она будет дана формулой
r = 4(l4^ + -Air + -'<2-2.3)
Определяя импульсы ?', т]', и;' формулами
дТ 4
ё ei §2+с2 '
^' = ^- = -/4-, 1 (2-2-4)
дц
w' i= = (?2 + С2) (1 - Г)2) W, dw
иэ (2.2.3) найдем
(2.2.5)
Дифференциальные уравнения промежуточного движения теперь запишутся в
виде
__ дК dr\ _ дК dw ________ dK'i
dt д\' ' dt dr\' ' dt dw' '
Ж. - __ Ж. JjL - _ 8JL \aaL ~ dK
dt d% ' dt дх\ ' df dw '
где
= T - w.
Система (2.2.6) имеет интеграл энергии Т - W = ax,
где - постоянная интегрирования. Составляя при помощи (2.2.8), (2.2.5) и
(2.2.2) уравнение Гамильтона - Якоби, получим
i2+c2 / 8S \2 л-T)2 I 6S \2
2J { дЪ ) 2J \ дц )
j________'А_______ ( dS - ЫЦ-сац) /? 9 qn
+ 2(?2+с2) (1 -л2) I Su> J ~ / +"1-
(2.2.6)
(2.2.7)
(2.2.8)
§ 2.2]
УРАВНЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
51
Полный интеграл этого уравнения будем искать в виде $ = $1 (5) + $2, (Л)
+ "3W1
где а3 - произвольная постоянная. Тогда для определения функций S! и S2
приходим к следующим уравнениям:
(Р + С*) (^L)2 = Ig2L + 2a1^+2fml-al,
(1 - г|2) )2= -T^^ + 2alc2rf - 2fmcor) + al,
где а2 - произвольная постоянная. Поэтому
S=] ^qr| <%+ J + (2-2.10)
il Л1
Здесь и г)1 - постоянные, которые будут определены позже, а F (г)) и Ф
(?) имеют вид
4>{l) = (l2 + c2)(2all2 + 2fm%- al) + c2a23, j
¦^'(Tl) = (l - г)2) (2a1c2r)2 - 2fmcor\->ral) - a\. J
Общий интеграл системы (2.2.6) будет даваться уравнениями
os t , n dS e as a
[toi +Plf ~d^~P2' ~d^~P3'
dS OS , OS ,
Ж = 1' ^=T1, = W '
Записывая первые из них в развернутой форме, имеем f i2 dj Г с2ц2 dr\
" Л
J Л/Ф(1) J VF(n\ '
й V(r)(r) "J V*<4>
J
J V"(6) J /ЯП
_ Г c2a3dl f Ogdq p
J (|2 + С2)1ЛФ(c) к(1-Г12)1Л^(л) F3'
(2.2.12)
где (Jx, (J2, (J3 - произвольные постоянные.
52 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Из (2.2.12) легко находим следующие уравнения:
_ dt it) ___________ dt^ \
ywW~~' V7W~ j ' > (2.2.13)
I
(1 - r)2) (|2 + c2) dw - a3 dt.
Если теперь вместо t ввести новую независимую переменную т по формуле
dt = Jdx - (|2 + с2т]2) dx,
то из уравнений (2.2.13) найдем
ч' I
\ Р- =т + с3, \ г~ = * + <*, (2.2.14)
где с3 и с4 - постоянные интегрирования, а г)г и мы определим позже.
Итак, задача свелась к обращению квадратур (2.2.14). После того как мы
найдем | и ri в виде явных функций т, третья координата определится
следующей квадратурой:
w = a* j -^Т + С*' (2-2.15)
о
которая легко выводится из третьего уравнения (2.2.13). Связь же
переменной т с временем t дается уравнением
Т
t -10= j (Е2 + c2rj2)dr + с6. (2.2.16)
о
В уравнениях (2.2.15) и (2.2.16) с6 и с6 - произвольные постоянные, a fg
- начальный момент времени.
Формулы (2.2.14) - (2.2.16) содержат семь постоянных а15 а2, а3, с3, с4,
