Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ускорение силы тяжести g дается формулой
где
W = -г2 cos2 ф + W.
Так как второе слагаемое правой части (1.11.1) имеет четвертый порядок
малости, то с точностью до членов четвертого порядка включительно будем
иметь
Вычислив при помощи (1.9.8) частные производные W по г и ф и подставив их
в формулу (1.11.2), мы с принятой точностью найдем
- J [э/; (^j2 + д (-~)3]2 (sin2 ф - sin4 ф)} .
Подставляя сюда вместо г его выражение из (1.10.6) и используя формулы
(1.9.7), мы окончательно получим
g = So (1 + "i sin ф + а2 sin2 ф +
+ аа siii3 ф + а4 sin4 ф), (1.11.3)
где
So=Ц- (1 - Ч + j х2 + | *2а2+ ~ *4) , aj = 6x3a, а3= - 10х3а,
"2 = 2g - -j х2 (1 + а2) + 4д2 +у х2д,
7 г 21 " 21 4
"4= - -г Г------------гК (1 - -я-х '
42
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
Если подставить в формулу (1.11.3) численные значения для постоянных fm,
r0, q, и и о, то она примет вид
g = 978,028 + 5,246 sin2 ф - 0,062 sin4 ф -
- 0,007 sin ф + 0,012 sin3 ф. (1.11.4)
Приведем для сравнения формулу для нормальной силы тяжести gn, полученную
Гельмертом [15],
gn = 978,030 + 5,229 sin2 ф - 0,043 sin4 ф. (1.11.5)
На рис. 7 показано поведение разности g - gn в зависимости от
геоцентрической широты. Максимальное значение этой разности составляет в
южном полушарии
Рис. 7. Разность g - gn как функция геоцентрической широты.
- 9 мгл, а в северном - 2,6 мгл. Заметим, что на такую или большую
величину отличаются значения силы тяжести, вычисленные по различным
нормальным формулам *).
§ 1.12. Возмущающий потенциал
В § 1.9 мы ввели промежуточное гравитационное поле Земли, потенциал W
которого определяется формулой (1.9.1) или (1.9.8). Пусть теперь
U = W + RT, (1.12.1)
где через U, как и раньше, обозначен потенциал притяжения реальной Земли.
Тогда RT можно назвать возму-
*) См. формулы Гейсканена, Кассиниса и др. [15].
§ 1.13]
ЗАМЕЧАНИЯ
43
щающим потенциалом. Используя формулы (1.6.5) и
(1.9.8), для RT находим следующее выражение:
RT=-^-'2i 1п(~У Pn{sintp) +
71=4 оо П
+ -Т-2 S (sinq>)cosfc(b-bnft), (1.12.2)
n-2 ft-1
где
jn = - (/n - /;), (1-12.3)
причем даются формулой (1.9.5).
Если воспользоваться числовыми данными, приведенными в § 1.6, то для
постоянных /" получим (в единицах 10-6)
74 = 0,427, /5 = 0,236,
h = - 0,502, /7 = 0,361,
/8 = 0,118, /9 = 0,100,
/10 = 0,354, /и = - 0,202,
7i2 = 0,042, 7i3 = 0,123,
/14 = 0,073, 7 г& = 0,174,
/хв = - 0,187, /17 = - 0,085,
/18 = 0,231, /19 = 0,216,
Уао = 0,005, /21 = - 0,145.
Числовые значения для Jnh находятся из табл. 1 с помощью формул (1.6.7) и
(1.6.11).
§ 1.13. Замечания
Представление потенциала притяжения Земли в виде ряда по сферическим
функциям стало классическим. В силу простоты сферических функций оно
очень удобно для аналитических и численных исследований движения
искусственных спутников. Однако, как уже отмечалось, такое разложение
обладает одним существенным недостатком, а именно медленной сходимостью,
вследствие чего при точных исследованиях движения близких
44
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
спутников необходимо учитывать достаточно большое число членов. Это
обстоятельство заставляет искать другие формы разложения потенциала.
В 1965 г. Г. Н. Дубошин получил разложение потенциала объемного тела в
ряд по функциям Ламе [16]. В последнее время JI. А. Савров нашел формулы,
связывающие коэффициенты разложения по функциям Ламе с коэффициентами
разложения по сферическим функциям [17].
В 1971 г. Балмино представил аномальную часть потенциала Земли
потенциалом притяжения некоторой совокупности точечных масс [18]. Им было
использовано 126 материальных точек с заданными координатами в теле
Земли.
Пока еще трудно судить о том, насколько целесообразно использовать
полученные разложения для решения дифференциальных уравнений движения
спутника. Можно лишь заметить, что эти разложения также содержат большое
число членов, а используемые в них функции являются более сложными, чем
сферические.
По-видимому, самым существенным фактом является то, что для описания
гравитационного поля Земли с нужной нам в настоящее время точностью
требуется большое число постоянных (порядка 100, а может быть и больше).
Трудности здесь обусловлены скорее физической стороной проблемы, чем
математической.
Теперь о промежуточном гравитационном поле Земли. В гравиметрии
гравитационное поле Земли обычно разбивают на две части: нормальную и
аномальную. Под нормальным гравитационным полем понимают поле некоторой
идеализированной Земли, потенциал которого содержит наиболее значительные
члены разложения: нулевого, первого и некоторые члены второго порядка
относительно сжатия Земли. В аномальный потенциал включают члены второго
порядка и выше. В этом отношении введенное в § 1.9 промежуточное
гравитационное поле Земли может рассматриваться как нормальное поле.
Главное же отличие промежуточного потенциала W от других нормальных
потенциалов заключается лишь в том, что он позволяет строго
проинтегрировать дифференциальные уравнения движения спутника.
