Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
тогда бы не имели никаких реальных движений. Поэтому многочлен Ф (!)
должен иметь два действительных корня (пусть это будут !х и !2). Таким
образом, для многочлена Ф (!) имеются только следующие возможности:
а) !i и !а действительные, а !3 и !4 - комплексные,
б) !i, !л, !з, !4 - все действительные.
Поведение многочлена Ф (!) в этих случаях показано на рис. 9 и 10.
Перейдем к изучению многочлена F (г|):
F (г|) = - 2а1с2г)4 + (2atc2-оф г)2 + 2fmca (Л3-Л)-(аэ-аг)-Прежде всего
имеем
^ (- 1) = -а|^0, ^(1)=-а23<0>
F (-оо) > 0, *'(оо)>0.
} (2.4.9)
Рис. 9. График многочлена 'Ф (?) в случае "а".
§ 2.4]
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ
57
Отсюда видно, что многочлен F (г|) имеет два корня, один из которых
меньше или равен -1, а второй больше или равен +1. Обозначим эти корни
соответственно через r|s
Рис. 10. График многочлена Ф (?) в случае "б".
и ti4. Покажем, что два других корня (пусть % и ti2) являются также
вещественными и лежат на отрезке [-1, +1]. Действительно, если бы
многочлен F (т]) не имел таких корней, то никакими вещественными
значениями
F(I/}
% V
Рис. 11. График многочлена F (т)).
т| мы не смогли бы удовлетворить одновременно второму условию (2.4.8) и
второму условию (2.4.2). Поведение многочлена F (ti) показано на рис. И.
Из проведенного анализа следует, что переменная т) будет изменяться в
области
- 1 ^ Л1 ^ Г1 ^ Лг ^ + !• (2.4.10)
Для переменной ? в случае "а" мы имеем
6i < 6 < и, (2-4.11)
а в случае "б" возможны две области изменения
Si < ? < Es и < 6 < ?"• (2.4.12)
Однако, как мы покажем в дальнейшем (см. § 2.6), меньшие корни (пусть |3
и ?4) при всех допустимых значениях
58
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
ах, аг и а3 не будут превосходить постоянной с. Но на основании формул
(2.4.1)
г = УЪ2 + с2(\ - т]2) J-с2а2-f 2cahr\.
Поэтому во второй области (2.4.12) будет иметь место следующее
ограничение:
г < с у 2 -f 2а -f сг2 " 330 км, (2.4.13)
а следовательно, эта область полностью лежит внутри Земли и ее можно не
рассматривать.
§ 2.5. Постоянные а, е, 6
При выводе формул промежуточного движения важным моментом является выбор
элементов орбиты. Ясно, что эта задача не имеет однозначного решения.
Однако при ее решении следует стремиться к тому, чтобы, во-первых, эти
элементы имели наглядный геометрический смысл, во-вторых, чтобы они были
близкими к соответствующим кеплеровым элементам и, в-третьих, чтобы
выражения для координат спутника через элементы и время имели по
возможности наиболее простой вид. Очевидно, постоянные а15 аг, а3 не
удовлетворяют указанным требованиям. Поэтому вместо них мы будем
пользоваться элементами а, е и б, которые введем следующими формулами:
Ъ = а (1 - е), U = a{ 1 + е), т|, = б, (2.5.1)
где ?i - два наибольших корня многочлена Ф (?),
а г)2 - наибольший корень многочлена F (г|), лежащий на отрезке [-1,1].
Связь между старыми постоянными ах, аа" "з и новыми а, е, б будет
даваться равенствами
ф [а (1 - е)\ = 0, Ф [а (1 + е)] = 0, F (б) = 0,
(2.5.2)
которые можно рассматривать как три линейных уравнения относительно
неизвестных аг, а\ и оф Решая эти уравнения, мы можем выразить ах, а2 и
а3 через элементы а, е, б. [Заметим, однако, что выражения для а15 а2, а3
будут довольно-таки громоздкими. Поэтому ^мы
§ 2.5]
ПОСТОЯННЫЕ а, ?, 6
59
представим их в виде рядов по степеням некоторых малых параметров. Первый
параметр е введем по формуле
а в качестве второго примем величину а. Далее (см. § 2.6) будет показано,
что е не превосходит V30. Поэтому можно считать, что е2 и го имеют
порядок 10_3.
Так как постоянные сна входят в многочлены Ф (?) и F (т]) посредством с2
и со, то указанные выше ряды будут расположены по степеням е2 и есг. Во
всех разложениях, которыми нам придется пользоваться в будущем, мы будем
сохранять члены нулевого порядка и члены, пропорциональные е2, еа, е4,
е3ст и е2а2. Отбрасывая члены более высоких порядков, мы тем самым будем
допускать ошибку порядка 10-9.
Разрешив теперь с указанной точностью уравнения
(2.5.2) "тносительно а1( а2, а3, получим
сц = -|^{1-е2(1-е2)(1-62) +
+ 2е3аб (1 - б2) (1 - е2) + е462 (1 - б2) (1 - е2) (3+е2)}, (2.5.4) а\ =
fma(i - е2) {1 + 2е2 (1 + е2) (1 -б2) -
- 4е3аб (1 + е2) (1 - б2) + е4 (1 - б2) [(1 -6б2) -
- 2е2 (1 + 4б2) + е4 (1 - 2б2)]}, (2.5.5)
а3 = ± ~\f fma (1 - е2) (1 - б2) { 1 + -f- [(2 - Зб2) +
+ е2 (2 - б2)] - естб -y е2ст2б2 -
- у е3аб [(2 - б2) + е2 (2 - Зб2)] - ¦?- [(1262- 11б4) +
+ е2(16+16б2-34б4) + е4(4б2-3б4)]} , (2.5.6)
где знак "+" нужно брать в случае прямых движений, а знак "-" - в случае
движений обратных. Это обстоятельство является следствием того, что а3
есть проекция удельного момента количества движения спутника на ось Oz.
Из формул (2.5.4) и (2.5.6) вследствие а± < 0 и вещественности а3 при 6^1
видно, что а > 0 и е < 1. Таким
60
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. П
образом, элементы а, е и б могут принимать любые значения из области
а > 0, 0;<<?<1, б;<1. (2.5.7)
