Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
D(t) = Mt) = M[X(t)-X{t)]* =
OO
= $ (X-X2(O)Z1 (t,x)dx. (5.26)
—OO
Если случайная функция стационарная, то ее одномерная вероятность не зависит от значения аргумента. Следовательно, все ее одномерные моментные функции также не зависят от аргумента. В частности, у стационарной функции ее математическое ожидание и дисперсия (если они существуют) являются постоянными величинами, не зависящими от значения аргумента:
MX (t) = Xt (5.27)
M (X (t) -Xf =D. (5.28)
Наряду со случайной функцией X (?) рассмотрим случайную функцию Y (t), отличающуюся от X (t) на 224
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
неслучайную функцию % (t):
Y(t) = X (t) - X (t). (5.29)
Математическое ожидание случайной функции Y (t), как легко видеть, равно нулю
M [Г «)1 = MX (t) - X (t) = X (t) - I (t) = 0. (5.30)
Случайные функции, обладающие тем свойством, что их математическое ожидание при любых значениях аргумента равно нулю, называются центрированными. У центрированных случайных функций центральные момент-ные функции совпадают с начальными моментными функциями. Это обстоятельство упрощает запись многих выражений. В дальнейшем мы во многих случаях будем считать, что переход (5.29) у стационарной случайной функции уже совершен, и рассматривать центрированные случайные функции.
§ 63. Корреляционная функция
Двумерная центральная моментная функция второго порядка случайной функции называется корреляционной функцией,
К (<„ h) = М{[X (h) - X" (I1)] IX (h) - J (Ш =
OO OO
= [X1 — Ж (^1)] [х2 — Ж (г2)] /2 (<!, X1; t2, x^dxidxi. (5.31)
—Oo —Oo
Непосредственно видно, что корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов,
К (tu t2) = К (t2, f,).
Корреляционная функция — важная характеристика случайной функции. Она является простейшей неодномерной моментной функцией случайной функции и характеризует степень зависимости между значениями, которые может принимать случайная функция для двух различных значений аргумента.
Добавление к случайной функции неслучайной функции не изменяет корреляционной функции. В самом деле, если
Y(I) = X (t) + г|> (*), КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
225
то
F (f) = J (t) + гр (о,
поэтому
Ay(fi, Q = M{[У (г,) — F (<i)] Irw-F(Jj)]) = = M {[X (f>) - J (fx)] [X (fa) - J (J8)]) = Kx (tu J8).
(5.32)
Очевидно, что
К (f, f) = D (<), (5.33)
корреляционная функция положительна и равна дисперсии случайной функции при значении аргумента f.
Если f2 — f, -»- оо, то гасто зависимость между значениями, которые может принимать случайная функция при значениях аргумента <х и fa, ослабевает, становится справедливым соотношение
/а xu fa> X2) ~ A (^ii xi) fi (f2> ®s)> (5.34)
корреляционная функция стремится к нулю, так как она согласно (5.31) превращается в произведение двух одномерных центральных моментов первого порядка. Конечно, если значения случайной функции взаимно независимы при значениях аргументов tu f2, разность которых конечна, то уже для этих значений аргументов корреляционная функция равна нулю. Для стационарной функции
OO OO
к (fi, ti) = S S (X1 — J)(X2 — J)/2(0, X1; ti — tu X^dXidX2= —00 —00
= K0(J2-J1). (5.35)
т. е. корреляционная функция зависит только от разности значений аргументов. Из симметричности К (tu f2) относительно своих аргументов flt f2 следует, что корреляционная функция K0 есть четная функция своего аргумента:
K0 (- т) = K0 (т). (5.36)
В общем случае с увеличением разности f2 — fi корреляционная функция убывает не обязательно монотонно. Однако в большинстве астрономических и физических приложений случайной функции, в особенности для
VaS Т. А Агекян 226
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ІГЛ. 5
стационарных процессов, корреляционная функция есть монотонно убывающая функция J2 — J1.
Для стационарного процесса корреляционную функцию можно приближенно определять по реализациям случайной функции. Для этого интеграл в (5.35) заменяется суммой
a nj
K0 (т) да 4" S-r S«) - («л і + *)- ^sI. (5-37)
J=I і i-l
где
^s =-Г S "Г S *)(<). і)-i=l І і=1
Здесь Xf (tjti) — значения случайной функции в /-й реализации при значениях аргумента J = J^j. Эти величины получаются из измерений.
Для приближенного вычисления корреляционной функции нестационарного процесса нужно иметь большое число реализаций случайной функции, чтобы иметь основание для замены в (5.35) интеграла суммой
S
к (J1, J2) да-J- 2 № Cl) - т [Xi (J2) - Xs (J2)], (5.38) )=1
где
*'(«)- 4-2*)«). (5.39)
j=i
Если при возрастании т корреляционная функция, найденная по ее практическим реализациям, убывает монотонно, то ее часто удобно аппроксимировать выражением
K0(T)SeV^1
или
K0(X) да
Итак, если случайная функция стационарна, то ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция есть функция только разности аргументов. Обратное утверждение неверно, т. е. из постоянства мате- § 63] КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ 227
матического ожидания и зависимости корреляционной функции только от разности аргументов не следует, что случайный процесс стационарен. Однако эти условия накладывают сильные ограничения на распределения. Случайные процессы, им удовлетворяющие, называют стационарными в широком смысле.
