Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
/(і) (А, ?, ft, a, g) dhdfidk da dg dt =
=/<2)(s> ?> ft, а, ё) ds df>dk da dg dt, (5.56)
каждая часть которого равна вероятности сближения с заданными характеристиками за время dt. Математическое ожидание числа сближений за время dt с прицельными расстояниями, заключенными в промежутке lg, g+ dg], равно
D2ng dg w dt\ (5.57)
функция распределения угла а есть sin а, а функция распределения S
/s (s) = 4" 71=1 • (5.58)
Таким образом, fa) (А, ?» ft, o> ё) dh d? dk da dg dt =
= Jk (ft) dk -L p==-L sin a da ¦ Dlng dgw dt. (5.59)
Чтобы получить плотность вероятности перехода, нужно в (5.59) заменить s и ds при помощи равенства (5.54) и затем проинтегрировать (5.59) по всем возможным значениям g, а и ft:
L(0, ?; dt, ? + A?)dA = = Ddh dt ^fк (к)
KiWt
1+JT
/
gbkho* sin2 а / g*u?«\»
X smawgdkdadg. (5.60)
9 Т. Л. Агекян 234
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
Величина W дается равенством (5.60). Область интегрирования G определяется неравенствами
g > 0, (5.61)
— 1 < cosct <+1, (5.62)
ft > 0, (5.63)
- 1 < h < ft2. (5.65)
Неравенства (5.61) — (5.64) очевидны. (5.64) вытекает ив условия ISI = I cos 01 ^ 1 и (5.54). Неравенство (5.65) показывает, что квадрат скорости звезды не может уменьшиться на величину, бблыпую, чем сам квадрат скорости, и не может увеличиться больше, чем на квадрат скорости звезды, с которой произошло сближение.
Выполняя интегрирование по области G (предлагаем это проверить читателю), находим для случая А > О, т. е. когда скорость звезды после сближения возрастает,
L (0, ?; dt, ? + h?)dh =
УІ+h _
^WmT-D^dt[ 5 ^{W-h)YW=ijK{k)dk + Yh
OO
+ \ 4(A+-f)Mft>dA] . (5.66) Vi+5Г
Если распределение скоростей звезд поля максвелловское,
м*> A = Щ. JLr1^1=Щ р./,Ve-T** dk,
то после подстановки его в (5.66) и использования формулы интегрирования по частям получаем для случая h > О
L (0, ?; <fc,H-A?) =
(F)8 ?A*
1 _ і. 3(fc.+h)
\(4ft2 + h)e 2 dk. (5.67) Задачи о выбросах
235
Для случая Л О аналогично находим (при максвел-ловском распределении скоростей звезд поля)
L (0, ?; dJ,? + A?) =
§ 66. Задачи о выбросах
Во многих приложениях теории случайных процессов необходимо исследовать вероятностные характеристики пересечения случайной функции некоторого заданного уровня.
Если при некотором значении аргумента случайная функция пересекает снизу вверх (или, если так условиться, сверху вниз) некоторый фиксированный уровень х = = а, то говорят, что произошел выброс. Как только после этого при некотором значении аргумента случайная функция пересечет уровень X = а в обратном направлении, говорят, что выброс закончился. Очевидно, что выброс в рассматриваемой задаче есть явление случайное. Его можно описывать при помощи различных характеристик, например, вероятностью, что в промежутке [J, J -\-dt\ произойдет выброс, распределением выбросов в промежутке [J1, J2], средней длиной выбросов в промежутке [J1, J2] и т. д.
Для того чтобы выброс произошел в промежутке [J, J+dJ], необходимо, чтобы в момент J значение случайной функции X (J) было меньше а, а в момент t + dt стало больше а. Используя теорему умножения вероятностей, можно определить вероятность этого события:
i> [X(J)< а < X(J-MO) =
а со
= $ /i (t, х) dx 5 ф (J, х\ t + dt, х') dx'. (5.69)
—оо а
Если случайный процесс стационарный, то (5.69) от J не зависит:
P [X (J) < а <Х (J + dt)) = с dt, (5.70) 236
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
1ГЛ. 5
где величина
а со
С = 1Г S /і (0, *)<**$ Ф (0, х; dt, х') dx' (5.71)
—оо а
вычисляется, если заданы одномерная плотность вероятности случайного процесса и функция переходных вероятностей.
Для стационарного случайного процесса с дискретным пространством значений
cdt = S P (°. xi) S P хь dt, Xi). (5.72)
*j<a х.>а
Если вероятность выброса в промежутке длиной dt равна cdt, то математическое ожидание числа выбросов в промежутке длиной T равно
сТ. (5.73)
Вероятность того, что в промежутке длиной T не произойдет ни одного выброса, равна
е-<т, (5.74)
а вероятность того, что в этом промежутке произойдет хотя бы один выброс, равна
1 - г*. (5.75)
Математическое ожидание времени пребывания стационарной случайной функции над уровнем а в промежутке длиной T равно
оо
ЬТ = T^ A(0,x)dx (5.76)
а
или, для дискретной случайной функции,
ЬТ = T 2 р (О, Xi). (5.77)
*;>а
Поэтому математическое ожидание продолжительности ЗАДАЧИ О ВЫБРОСАХ
237
одного выброса равно
оо
dt f U (О, x)dx
J /і (0, x)dx J ф (О, X; dt, x')dx'
(5.78)
а для дискретной случайной функции
2 />(0,*4) Ь _»i>a_
0 2 P (0' xO S р(Р,Щ\Л,Х})'
3Cj<a х->а
Задача 80. Для случайной функции — числа частиц внутри цилиндра, который может занимать различные положения,— решить задачу о выбросах для уровня а, где а — целое число.
Решение. Так как при смещении цилиндра на dt следует учитывать возможность увеличения числа частиц только на единицу, то выброс за уровень х = а возможен только с самого уровня. Поэтому суммы, фигурирующие в (5.72), содержат только одно слагаемое:
