Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 74. Определить корреляционную функцию для случайного процесса рассмотренного в задаче 72.
Решение. Если при первом положении цилиндр содержал X1 частиц и при мысленном его смещении на расстояние т < 1 цилиндр с одной стороны оставили X частиц, а с другой стороны цилиндр вобрал S частиц, то число частиц в цилиндре при втором положении окажется равным X2 = X, — X + S. Поэтому для T^l
K0 (т) = M [(X1 - п) (X2 - га)] =
OO Xt OO
= S S 2 (*1 - »)(*! — % +• S - И) Х
JC1=O X=O J=O
Распределение X1 в (5.40) пуассоновское со средним п. Распределение биномиальное, так как оно определяет вероятность попадания Я частиц в часть цилиндра, если число частиц во всем цилиндре равно X1. Распределение S пуассоновское со средним пх.
OO _
Vl (пт) 6~ПХ
Так как ^sc ——.-равно 1 при с = О и равно пх при
«=о
с = 1, а 2 Xе м хм — Т)*'~Х Равн0 1 ПРИ C = Ou
X=O
равно XXt при с = 1, то, суммируя в (5.40) сначала по s, затем по Я и X1, и приводя подобные члены, находим, что
ДЛЯ T < 1
K0 (X) = n ( 1 - т). (5.41)
Если т > 1, то числа частиц в двух возможных положениях цилиндра взаимно независимы, и, следовательно, при т > 1 K0 (т) = 0.
При Т—-0 корреляционная функция должна равняться дисперсии случайного процесса. Действительно,
8*228
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
дисперсия распределения Пуассона равна математическому ожиданию, т. е. п. При т = 1 корреляционная функция равна 0.
Задача 75. Найти корреляционную функцию для случайного процесса рассмотренного в задаче 73.
Решение. Будем считать, что видимые величины звезд заключены в промежутке 10, оо]. Воспользовавшись решением задачи 73, находим для т 1
OO т,
K0 (т) = 2 § S (щ — ш) (тг — tit) X о о
X e-JV(nH)-xJV(m,) ДГ' (TO1) xN' (Ttii) dmt dm, +
OO
+ 5 (тх — Sj2 (1 — т) N' (т) dmv (5.42)
о
При т > 1, как и в предыдущей задаче, K0 (т) = 0. Коэффициент 2 при первом члене (5.42) поставлен, чтобы наряду со случаями Tn1^m2 учесть симметричные им случаи ті < тг.
§ 64. Случайная функция с некоррелированными приращениями. Пуассоновский процесс. Взаимная корреляционная функция двух случайных функций
Случайная функция X (J) называется функцией с некоррелированными приращениями, если при любых
M {[X (J2) - X (J1)] - M [X (J2) - X (J1)]) X
X {IX (J4) - X (Ja)] -M IX (Q-X (Js)]} = 0. (5.43)
Достаточным условием некоррелированности приращений является взаимная независимость приращений. (Но это условие не является, конечно, необходимым.)
Примером случайной функции с некоррелированным приращением является пуассоновский процесс. В этом процессе случайная функция монотонно возрастает, принимая целочисленные значения; условная вероятность ее приращения в промежутке J2 — J1 на число т не зави-I 65] ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
229
сит от предыдущего поведения функции, задается распределением Пуассона со средним К (J2 — J1). Параметром, определяющим пуассоновский процесс, является величина Я. Если пространство равномерно заполнено газом, то число молекул в цилиндрической области, которую мы мысленно непрерывно удлиняем, есть пуассоновский процесс. Очевидно, что в пуассоновском процессе приращения случайной функции являются взаимно независимыми. Пуассоновский процесс является нестационарным процессом.
Рассмотрим две случайные функции одного и того же аргумента X (J) и F (J). Взаимной корреляционной функцией этих двух функций называется функция
Rxy (h, J2) = M {[X (J2) - MX (J2) - X (J1) + MX (J1)] х XIY (J2) - MY (J2) - Y (J1) + MY (J1)]). (5.44)
Если Rxy (h, h) равняется нулю при любых значениях J1 и J2, то говорят, что X (J) и Y (J) являются некоррелированными случайными функциями.
§ 65. Переходные вероятности
Пусть случайная функция X (J) может принимать лишь дискретные значения X1, хг,..., хп. Обозначим посредством
P (Ji, X,; J2, Xj) (5.45)
вероятность того, что в момент J2 она примет значение Jj при условии, что X (J1) = Xi. Вероятности (5.45) называют переходными вероятностями. Если случайный процесс стационарный, то вероятность (5.45) зависит только от разности значений аргументов т = J2 — J1. Марковский процесс полностью определяется заданием матрицы переходных вероятностей и распределением случайной функции при некотором значении аргумента J1.
Если случайная функция имеет непрерывное пространство состояний, то переходной вероятностью
ф (ti, х; J2, у) dy (5.46)
называется вероятность того, что случайная функция X (J) при значении аргумента J2 окажется внутри промежутка [у, у Ь dy] при условии, что X (J1) .г.230
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[гл. 5
Еслн процесс стационарный, то (5.46) зависит только от разности аргументов т = J2 — J1.
Задача 76. Найти переходную вероятность р (J1, Xi', J2, xj) для пуассоновского процесса (J2 ]> J1).
Решение. Так как пуассоновская случайная функция может только возрастать, то при х} <z xh очевидно, р (J1, хе, J2, xj) = 0. Если xj — xt = к > 0, то, используя пуассоновское распределение, находим, что
PfaxiiJ2lXi)= [Мь-уцн.» (547)