Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая в том же примере в некоторый фиксированный момент времени число частиц внутри объема, который может занимать различные положения вдоль некоторой координаты, мы получим случайную функцию, аргументом которой является координата центра объема.
В этих примерах аргумент изменяется непрерывно, случайная же функция принимает дискретные, только целочисленные, значения. Последний из приведенных примеров показывает, что термин «случайный процесс» не следует понимать в том смысле, что аргументом случайной функции должно быть обязательно время. Однако в дальнейшем для краткости мы будем рассуждать так, как если бы аргументом случайной функции являлось время.
Примером случайной функции может служить видимая величина ярчайшей (или к-й по яркости) звезды в перемещаемой площадке неба, как функция координаты.
Случайной функцией является высота точки поверхности моря, как функция координаты в некоторый фиксированный момент времени. Другой случайной функцией, характеризующей волновые явления на море, является высота поверхности моря при фиксированных координатах, как функция времени.
Примером случайной функции также является скорость движения молекулы в газе как функция времени. Скорость молекулы все время изменяется в результате случайных столкновений с другими молекулами. Также и скорость звезды в звездном поле, изменяющаяся при случайных сближениях с другими звездами, есть случайная функция.
Толщина нити, вырабатываемой прядильным станком, также пример случайной функции аргумента — длины нити, отсчитываемой от некоторого начала.
Случайные функции можно изучать и теоретически и при помсщи поставленных наблюдений или опытов. 214
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ІГЛ. 5
Если опыт над случайной функцией поставлен один раз, то будет получена одна реализация случайной функции для некоторого промежутка [а, ft] изменения аргумента t. Если, добиваясь точного вопроизводства условий, опыт
Mt)
----
a) t
повторять многократно, то будет получен ряд реализаций случайной функции. Построенные графики результатов, примеры которых приведены на рисунках 15 а, б, в, позволяют вынести некоторые суждения о характере случайных функций. 5 Cl] КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 215
§ 61. Классификация случайных функций
У некоторых случайных функций аргумент t может принимать лишь дискретные значения. В этом случае случайная функция называется случайной последовательностью.
Основное значение в физике и астрономии имеют случайные функции с непрерывно изменяющимся аргументом. Такие случайные функции называются случайными процессами. Все приведенные выше примеры случайных функций есть случайные процессы.
Значения самой случайной функции также могут быть дискретными величинами. В этом случае процесс называют процессом с дискретным пространством состояний. В приведенных примерах такова случайная функция — число частиц внутри некоторого объема как функция координаты или функция времени. Очевидно, что эта случайная функция может принимать лишь целые неотрицательные значения. Во всех других приведенных примерах случайная функция может принимать любые значения из некоторого промежутка.
Если случайная величина может принимать лишь дискретные значения, то вместо совокупности всех конечномерных плотностей вероятностей она может характеризоваться всеми соответствующими конечномерными вероятностями
Pn (tu X1; t2, Xi-, . . .; tn, хп). (5.6)
(5.6) есть вероятность того, что при значениях аргумента (5.1) случайная функция примет соответственно значения (5.2). Можно, конечно, в этом случае рассматривать и плотности вероятностей при помощи изложенного в § 19 приема, основанного на использовании дельта-функции.
Если распределение случайной функции не зависят от начала отсчета аргумента, то она называется стационарной. Необходимым и достаточным условием стационарности случайной функции является выполнение равенства
/п (^1» *1> ^2» Xi', • • м tn, Xn) =
= /n (<1 + to, X1; *2 + t0, Xi; . . .; tn + <0» *п) (5.7) 216
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ІГЛ. 5
при любом выборе (5.1) и любом I0. Таким образом, многомерные плотности вероятности, определяющие случайную функцию, у стационарной случайной функции зависят только от разностей значений аргументов tu t2,. . . . . ., tn, а не от самих значений этих аргументов. Это становится очевидным, если, положив t0 равным —tu мы напишем (5.7) в виде
/п (^l» X1; %-х', • • tn, хп) =
= /п (о, X1; t2 — tx, хг; . . .; tn — tu хп). (5.8)
Одномерная плотность вероятности при этом не зависит от аргумента, так как
/i if, X) =h(t- t, X) = и (0, х) = J1 (х).
Физически стационарность случайного процесса означает неизменность условий при изменении аргумента t.
В упомянутом выше примере с заполняющими пространство движущимися частицами случайные функции будут стационарными, если частицы заполняют пространство равномерно, а закон распределения компонентов скоростей сферически-симметричен и во всех точках пространства одинаков.
Видимая величина ярчайшей звезды в перемещающейся площадке является стационарной случайной функцией, если площадка перемещается вдоль параллели галактической широты, так как распределение звезд по видимым величинам в площадках с одинаковой галактической широтой можно считать неизменным. Но если площадка перемещается так, что ее галактическая широта изменяется, то рассматриваемый случайный процесс будет нестационарным, условия перестают быть неизменными, с уменьшением галактической широты число звезд в площадке возрастает и изменяется их распределение по видимым величинам.
