Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
всем возможным значениям х, т. е. от 0 до меньшего из чисел X1 и х2, найдем искомую вероятность:
P (ti, X1; t2, хг) =
Рассуждая таким же образом, можно найти распределения всех размерностей. Получаемые выражения, однако, становятся все более сложными.
Задача 73. Среднее число звезд до видимой величины т в одном квадратном градусе поверхности неба на галактической широте Ъ равно N (т). Найти распределение случайной функции — видимой величины ярчайшей звезды в квадратной площадке площадью 1 кв. градус при перемещении площадки вдоль галактической параллели.
Решение. Так как при перемещении площадки галактическая широта Ъ остается постоянной, процесс можно считать стационарным. Аргументом случайной функции является расстояние центра площадки от некоторой точки на галактической параллели. Согласно решению задачи 49 вероятность того, что видимая величина ярчайшей звезды в площадке заключена в промежутке [т, т + dm], равна
/, (t, т) dm = Л (0, m)dm = e'N<"•> N' (т) dm. (5.15)
Для нахождения двумерной плотности вероятности снова воспользуемся рис. 17. Обозначим сдвиг площадки т = t2 — ti. Если т 1, то видимые величины ярчайших звезд в площадке при t = J1 и t = t2 независимы друг от друга; следовательно, в этом случае
/г (0, nil; т> /«г) dm1dm2 =
= e_JV<m'> N' (W1)^w1-є"N' (Bit)An1. (5.16)
Пусть теперь т<1. Предположим, что игх > т2. Тогда вероятность того, что до сдвига видимая величина
lnf V *!) [(1-т)иГе-(1-т)" (тп)*'~* е~т (тп)*'-* е-
х! — х)! (х2 —
(Xi — к)15 Cl] КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 221
ярчайшей звезды заключена в Im1, w, + Aw1], а после сдвига — в промежутке [т2, W2 + dm2], равна вероятности первого события, помноженной на вероятность того, что в области III на рис. 17 видимая величина ярчайшей звезды находится в промежутке Im2, m2 + dmz]. Таким образом, при Tnl > т2
/2 (0, ті; X, т2) dm1dm2 =
= er NM N' (Wl) dm^-^'^xN' (т2) dm2. (С. 17)
В случае /K1Cm2 индексы 1 и 2 в правой части (5.17) нужно поменять местами.
Случай Tn1 = т2 следует рассмотреть особо. Вероятность того, что до и после сдвига видимая величина ярчайшей звезды площадки находится в промежутке Im1, Tn1 + Aw1], равна произведению вероятности, что видимая величина ярчайшей звезды в области II находится в промежутке Im1, Tn1 + dmj, и вероятности того, что и в области / и в области III видимая величина ярчайшей звезды больше Tn1.
Таким образом,
/2 (0, Wi1; т, тг) dml =
= e-(l-T)N(m,) (1 _ Т) ДГ' (mi) dWie-2*JV(m,). (5>18)
Условие mi = т2 будет выполнено и в том случае, когда в области /ив области III видимая величина ярчайшей звезды заключена в промежутке Im1, mt + dmj, а в области II видимая величина ярчайшей звезды больше M1. Но вероятность этого события — бесконечно малая более высокого порядка, чем (5.18).
Аналогично рассуждая, можно получить плотности вероятностей любых размерностей для случайной функции. Например, если
h - ti < 1
и
Tn1 > Tn2 > W3,
то
/з (0, mi; T1, m2; т2, т3) =
= е-w<™ojV'(mi)e-T.N(m,) T1W(TO2) erW* хгЩт3), (5.19)
где Xi = t2 — tu T2 = t3 — tu222
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
§ 62. Математическое ожидание
фуНКЦИИ f|(JT(ti), X(t2),..., jl(tn)).
Моментные функции случайных функций. Математическое ожидание; дисперсия
Если случайный процесс задан своими плотностями вероятности (5.5), то математическое ожидание функции Л (X (J1), X (J2), . . ., X (Jn))
MtHX(J1)1X(J2).....X (Jn)) =
OO OO OO
= J S-J Ч(*1» *»»•••»*!•) X
oo —»00 1oo
X /n X1; J2, х2;...; Jn, хп) (Ix1 dx2... dxn. (5.20)
Это определение соответствует определению математического ожидания функции случайного вектора. Математическое ожидание (5.20) является, очевидно, функцией Jl, ^2» • • м ^n-
При г) (ж) = X выражение (5.20) даст математическое ожидание самой случайной функции:
OO
X(J) = MX(J)= J Xf1(Ux) dx. (5.21)
—Oo
В общем случае, если случайная функция нестационарна, ее математическое ожидание изменяется вместе с аргументом.
Начальной n-мерной моментной функцией случайной функции называется
Xfcll .....*n(к, J2,.... U = M [Xk'(J1) Xk'(f2)... X*«(Jn)] =
= J S "" S X11X21... Xif1 X
X /„ (Ji, S1; J2, х2;...; Jn, xn) dxt dx2... dxn. (5.22)
Сумма
n
Sfti = 8 (5.23)
і=»ІI 62] МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ФУНКЦИИ 223
называется порядком моментной функции. Математическое ожидание (5.21) самой случайной функции есть ее одномерная начальная моментная функция порядка 1.
Центральной n-мерной моментной функцией случайной функции называется
.....fcn (fn h, • ••» *n) =
= M [(X1 - - X2)*-... (Xn - Jn)*"] =
= S I ... I (X1 - Xif1 (х2 - J2)'' ...(Xn - Jn)*« X
X /«Сі» X1, f2, х2;...; tn, xn)dxidxi... dxn, (5.24)
где Xt = X (tt), X1 = X (ti).
Одномерная центральная моментная функция первого порядка случайной функции очевидно тождественно равна нулю:
OO
IH (0 = $ [X - X (01 /i (t, X) dx = X (t) -J (?) = 0. (5.25)
—OO
Дисперсией случайной функции называется ее центральная одномерная моментная функция второго порядка,