Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
» п » я»
-1 1-і 1=1 j=i
її т п
= SyA-S^SaIi8I- (4-96) І=1 І=1 1=1
Согласно (4.95) двойная сумма в (4.96) равна нулю и, следовательно,
п п
Sei2=Snei. (4.97)
1=1 1=1
Помножим каждое из равенств (4.86) на Yi и просуммируем:
n » n m
S Yfil = S Yti- S Yi S ад- (4.98) 1=1 1=1 1=1 i=i
Изменив порядок суммирования в двойной сумме и использовав (4.97), находим
n n m п
Se? = S «1^1- (4.99)
І-1 1=1 І=1 1=1
Равенства (4.97) и (4.99) справедливы, если в них фигурируют точечные оценки Xv Xtt . . ., Xm н соответствующие им остающиеся погрешности. ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ
203
§ 58. Оценивание неизвестных в способе наименьших квадратов прн помощи доверительного интервала
Когда система уравнений избыточная, условные уравнения вследствие случайных ошибок в измерениях ух противоречат друг другу, н сумма квадратов остаточных погрешностей отлична от нуля.
Используя (4.92), напишем равенство (4.99) в виде
» » т n »
S в? = S Yt - 2 2 b,}Y. 2 UiiYlf (4.100)
4=1 1=1 3=1 I=I 1=1
где коэффициенты b,j определяются выражениями (4.93). В равенстве (4.100) правая часть представлена непосредственно через измеренные величины Yi и коэффициенты избыточной системы.
Измерения Yi являются случайными величинами, поэтому определяемая ими сумма квадратов остающихся погрешностей также является случайной величиной. Подставим в (4.100) равенства (4.82) и выполним простейшие преобразования:
1=1 1=1 1=1 1=1
tn n » m » п
- 2 S КУ> 2 ааУі -SS Ь>)У> S «іА -j=l »=1 1=1 І=1 »=1 1=1 m n n m n n
-SS Ms S аиУі -SS M, S «ІА- (4.101)
3=1 8=1 1=1 3=1 >=1 1=1
Как уже отмечалось выше, если бы в измерениях величин у і случайные ошибки были равны нулю, то избыточная система (4.81) с Yi вместо yt решалась бы точно, сумма квадратов остающихся погрешностей была бы равна нулю.
Правая часть равенства (4.100) при 0(=0 равна нулю. Следовательно, первый и четвертый члены правой части (4.101) взаимно уничтожаются. 204 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ іГЛ. 4
Найдем математическое ожидание случайной вели-
п
чины 2 Так как измерения различных yf взаимно i=i
независимы,
М6Д = 0, если $фі. (4.102)
Следовательно, в последней сумме правой части (4.101) отличны от нуля математические ожидания лишь тех слагаемых, у которых S = і. Очевидно также, что
Mbl = 0, (4.103)
Mbl = Oi0 (4.104)
для всех значений /'; O0 — средняя квадратическая ошибка измерений уі. Итак, получаем
» m п
M S е? = ml - о? 2 S atjbtj. (4.105)
1=1 )=i <=i
При помощи равенств (4.93) и (4.90) находим
» » m
2 a»Ai = ~d S 2 ®«k Acj =
«=1 8=1 k=l
m n m
= 42 Aj 2 «.Ai = 4-2 = 1 (4.106) k=i «=l fc=l
независимо от значения /. Поэтому получаем
п
M 2 8i = (« - т) (4.107)
i=l
В общем случае средние квадратпческие ошибки измерений у і отличны от O0 и различны между собой. Их величины определяются соотношением коэффициентов избыточной системы условных уравнений.
Точечные оценки неизвестных X) выражаются через измеряемые величины Yi при помощи линейных соотношений (4.92). Поэтому согласно закону распространения средней ошибки
»
О? = 2 Ь%. (4.108)
i=l Є 581 ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ 205
Используя (4.93), находим
n » т
2*й=ж2(2 -
-і 1=х Ч=і 1
mm п mm
- ж 2 2 0A 2 "»л« = ж 2 Ai 2 DhiChk. (4.109)
Jc=I h=l І=1 к=1 Л—1
Рассмотрим выражение
m
2 DhjChk. (4.110)
h=l
Если кфі, то (4.110) представляет собой сумму произведений алгебраических дополнений элементов /-го столбца определителя на соответствующие элементы другого столбца, что, как известно из теории определителей, равно нулю. Для значений же к = / выражение (4.110) равно определителю D. Поэтому получаем
і=І
и искомые соотношения для средних квадратических ошибок таковы:
о, = Soj/^, /=1,2, ...,т. (4.112) Сравнивая (4.107) и (4.112), находим
п
MSet = (B-IB)^f. (4.113)
і=І »
Напишем это равенство в виде
"^"З^ = «* (4.114)
1=1
и сравним его с равенством (4.29).
В обоих этих равенствах случайная величина, стоящая под знаком математического ожидания, есть произведение 206 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ іГЛ. 4
постоянного коэффициента на случайную величину, являющуюся суммой квадратов отклонений от значений выражений, которые получаются, если в эти выражения вместо измеряемых величин подставить их точечные оценки. Что касается постоянных коэффициентов, то множителю (га — 1) в равенстве (4.29), которое относится к задаче с одной измеряемой величиной, в равенстве (4.114), относящемся к задаче с т измеряемыми величинами, соответствует множитель (га — т). Множителю п в равенстве (4.29) соответствует множитель DIDjj в равенстве (4.114).
§ 59. Проверка гипотез о функции распределения аргумента.
Критерий согласия
Одной из задач математической статистики является вынесение суждения о функции распределения аргумента в статистическом коллективе по полученной случайной выборке.
До сих пор предполагалось, что закон рапределения аргумента известен с точностью до параметров, которые нужно было оценить. Рассмотрим теперь задачу, состоящую в том, чтобы проверить некоторую гипотезу о функции распределения аргумента в статистическом коллективе, определив, совместима лп она с данными полученной случайной выборки из статистического коллектива.
