Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что следует проверить гипотезу состоящую в том, что плотность вероятности аргемента в статистическом коллективе есть / (X). Разобьем промежуток возможных значений х на к интервалов
[Xi.!, Xi], і = 1, 2, ...,к. (4.115)
Тогда вероятность того, что аргумент статистического коллектива примет значение внутри г-го интервала, равна
*i
Pi= J f(x)dx, i = l,2.....к. (4.116)
»1-і
Допустим, что в полученной случайной выборке объема п частоты, соответствующие интервалам аргумента (4.115), і 59] ПРОВЕРКА ГЙПОТЁЗ O ФУНКЦЙЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 20?
оказались равными
Wi11 тг, . . тк. (4.117)
Не противоречит ли этот результат принятой гипотезе? Если объем случайной выборки равен п, то при справедливости гипотезы математические ожидания соответствующих интервалам (4.115) частот равны
Tip1, Tipi, . . ., прк. (4.118)
Совокупность отклонений полученных частот от их математических ожиданий должна показать, можно ли их объяснять случайностью или же следует считать, что принятая гипотеза неверна.
Для решения задачи используем результаты § 47, в котором было показано, что случайная величина
(4.119)
при
п ОО, n-V. (пц — ПРі)3 (пр,)-'/. о, (4 120) ь = Ij 2) • • Aj
имеет асимптотическое распределение, такое же, как и случайная величина %*, рассмотренная в § 46 и соответствующая числу слагаемых в сумме (3.120), равном к—1, т. е. Xk-i> Как показывает ход доказательства в § 47, уменьшение на 1 номера пря вызвано тем, что среди слагаемых в сумме (4.119) независимых всего к — 1, так как должно выполняться условие нормировки
к к
S JBj = 2 ПРі = (4.121)
1=1 1=1
Если принятая в гипотезе функция распределения / (х) определяется I параметрами, то, чтобы вычислить вероятности (4.116), нужно сначала определить значения параметров. Для этого можно применить метод наибольшего правдоподобия. Как было показано в § 51, прн этом определяется I соотношений (4.32), связывающих функцию распределения со значеннями аргумента в случайной 208 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ іГЛ. 4
выборке. Это равносильно тому, что в сумме (4.119) еще I слагаемых будут зависимыми от других, число независимых слагаемых станет равным к — I — 1. Соответственно рассуждения, аналогичные проведенным в § 47, покажут, что функция распредления величины U, определяемой равенством (4.119), совпадает с функцией распределения где X = к — I — 1.
Таким образом, если функция / (х) описывается I параметрами, которые вычислены методом наибольшего правдоподобия по случайной выборке, определяемой числами (4.117), то случайная величина (4.119), где pt задаются равенствами (4.116), при выполнении условий (4.120) имеет асимптотическое распределение с плотностью
/ (", к) --TZT (4-122)
2"*Г (-J-)
где X = к — I — 1.
Если гипотеза верна, то отличие величины U от нуля вызывается случайными отклонениями частот OTj от их математических ожиданий Tipi. Интеграл
OO J
P(и, х) =-V— [ ^vie-T'ей (4.123)
(-f) і
равен, следовательно, вероятности того, что при справедливости проверяемой гипотезы величина (4.119) примет значение, не меньшее и.
Если при подстановке вместо и вычисленного по случайной выборке значения U эта величина будет мала, то едва ли можно допустить, что соответствующее событие произошло: будет больше оснований считать, что значительные отклонения ті от прі вызваны неверностью гипотезы о функции распределения аргумента в статистическом коллективе. В противном случае можно сделать вывод О ВОЗМОЖНОСТИ объяснения отклонений Tili от nPi случайностью и заключить, что данные наблюденной случайной выборки не противоречат гипотезе. Как бы близка к единице полученная величина ни была, нельзя утверждать, что доказана справедливость гипотезы. Можно лишь і 591 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 209
Таблица 8
Знапения и, отвечающие х и
! dt
; * \ . і
2 Г
OO
1 P x 2-1
р (".*) = -JFTTT Г '
° m u
і 2
3
4
5
6
7
8 9
10 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8 9
10 11 12
13
14
0,99
0,00016 0,020 0,115 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,1
3.6
4.1
4.7
5.2
5.8 6,4 7,0 7,6
8.3
0,20
1,64 3,22 4,64 6,0 7,3 8,6 9,8 11,0 12,2 13,4 14,6 15,8 17,0 18,2
0,98
0,0006
0,040
0,185
0,43
0,75
1,13
1,56
2.03 2,53 3,06 3,6
4.2
4.8
5.4 6,0 6,6
7.3
7.9 8,6 9,2
0,10
2.7 4,6 6,3
7.8 9,2
10,6 12,0
13.4
14.7 16,0 17,3
18.5
19.8 21,1
0,95
0,0039
0,103
0,352
0,71
1,14
1,63
2,17
2,73
3,32
3,94
4.6
5.2 5,9 6,6
7.3 8,0
8.7
9.4 10,1 10,9
0,05
3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9
18.3 19,7 21,0
22.4 23,7
0.90
0,016 0,211 0,584 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,86 5,6 6,3 7,0 7,8 8,5 9,3 10,1 10,9 11,7 12,4
0,02
5,4 7,8 9,8 11,7
13.4
15.0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6
24.1
25.5 26,9
0,80
0,064 0,446
1.005 1,65 2,34
3.07 3,82 4,59 5,38 6,18 7,0
