Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
= Jf (о, ъ)
J tz~le-'dt о
называется неполной гамма-функцией. Теперь (4.76) можно записать в виде
(4.77)
Равенство (4.77) решает задачу нахождения надежности при различных доверительных интервалах для O0. В то же время, очевидно, можно задавать надежность и, используя (4.77), определять доверительный интервал. В таблице 7 приведены значения функции
и}Гг
I (и, z) = К (и VI, z) = T^y J t'-Vdt.
о
Чтобы получить требуемое значение К (a, z), нужно путем интерполяции найти из таблицы значение I (и, г),
где U = -?=т. Функция I (и, z) является более удобной для
у Z
табулирования, чем К (a, z).
Изложенный метод оценивания параметров при помощи доверительных интервалов используется в теории ошибок.
Если постоянны определенные условия измерений, то вся совокупность возможных значений измерений есть нормальная генеральная совокупность. Плотность вероятности распределения в ней аргумента,— результаты измерения,— есть нормальная функция:
'W = TFsT • (4'78>
где Z0 — истинное значение измеряемой величины, a O0 — средняя квадратическая ошибка одного наблюдения. 196 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ іГЛ. 4
Таблица 7
и ут
Значения функции /(н. г) = -щ-р ^ Г е dt
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0
0,393 0,632 0,777 0,865 0,918 0,950 0,970 0,982 0,989 0,993 0,996 0,998 0,998 0,999
0,158 0,413 0,626 0,774 0,868 0,925 0,958 0,977 0,987 0,993 0,996 0,998 0,999 0,999
0,057 0,251 0,481 0,673 0,806 0,891 0,941 0,969 0,984 0,992 0,996 0,998 0,999 0,999
0,019 0,143 0,353 0,566 0,735 0,849 0,918 0,958 0,979 0,990 0,995 0,998 0,999 0,999
0,006 0,076 0,247 0,463 0,656 0,799 0,890 0,943 0,972 0,987 0,994 0,997 0,999 0,999
0,002 0,039 0,166 0,366 0,574 0,742 0,856 0,925 0,963 0,983 0,992 0,997 0,999 0,999
О, ООО 0,019 0,107 0,282 0,491 0,679 0,816 0,902 0,952 0,977 0,990 0,996 0,998 0,999
ю
U
13
15
17
19
0,5 1,0 1,5
2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0
0,000 0,004 0,040 0,153 0,338 0,544 0,721 0,845 0,921 0,963 0,983 0,993 0,997 0,999
0,000 0,002 ff,023 0,108 0,272 0,476 0,667 0,810 0,901 0,952 0,979 0,991 0,996 0,999
0,000 0,001 0,013 0,074 0,214 0,411 0,610 0,770 0,878 0,940 0,973 0,989 0,995 0,998
0,000 0,000 0,004 0,033 0,125 0,291 0,494 0,682 0,821 0,903 0,958 0,982 0,993 0,997
0,000 0,000 0,001 0,013 0,068 0,195 0,383 0,584 0,752 0,868 0,937 0,972 0,989 0,996
0,000 0,000 0,000 0,005 0,034 0,122 0,282 0,483 0,672 0,816 0,908 0,958 0,983 0,993
0,000 0,030 0,000 0,002 0,016 0,073 0,199 0,385 0,586 0,754 0,871 0,939 0,974 0,990
После того как выполнен ряд измерений (4.41), который должен рассматриваться как случайная выборка из нормальной генеральной совокупности, и по формулам МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
197
(4.42) и (4.74) вычислены А" и T1 равенства (4.73) и (4.77) используются для оценок истинного значения измеряемой величины Z0 и средней квадратической ошибки наблюдения O0 методом доверительных интервалов.
§ 56. Косвенные измерения. Метод наименьших квадратов
Во многих наблюдательных и экспериментальных исследованиях встречается такое положение, когда величины Z1, z2, . . ., zTO, которые требуется определить, непосредственно измерить невозможно. Однако можно измерить величины JZ1, JZ2, . . ., уп, являющиеся известными функциями величины Z1, Z2, . . ., Zto,
rii (Z1, Z2, . . ., Xm) = Уі, і = 1, 2, . . ., п. (4.79)
Необходимо по полученным измерениям величин Уи Уг, • • ч Уп вынести суждения о значениях величин
xI' х2> ' ' *' ^m1
Будем считать, что вид функций % и значення входящих в них параметров известны точно. Но измерения величин уі содержат, как обычно, случайные ошибки.
Рассмотрим сначала важный частный случай, когда все функции т){ являются линейными однородными,
m
TU («і, ..хп) = 2 auxi = Ун і = 1,2,..., п. (4.80)
j=i
Тогда в развернутом виде система равенств (4.79) запишется так:
O11Z1 + O12Z2 + ... + OlmZm = уи
(IiiX1 O22Z2 + • • • + a2mxm = У8» (4 81)
Яп1*1 + ®п2*2 + • • • + Wm = Уп,
причем все коэффициенты OiJ известны точно.
Отдельные уравнения в системе (4.81) называются условными уравнениями.
Y1, Y2, . . .,Yn есть результаты измерений величин, истинные значения которых равны уг, уг, . . ., уп. 198 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ іГЛ. 4
Поэтому
Yi = Vi+ Si, і = 1, 2,
п,
(4.82)
где 6| есть случайная ошибка измерения величины у{. Как и обычно, будем считать, что случайные ошибки Si распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0. Тогда случайная величина Yi — измерение величины Iji — имеет плотность вероятности
/(Zi) =
во У"2я
2°0
(4.83)
Рассмотрим матрицу коэффициентов системы (4.81): Ян а12 ... а1п ®21 ®22 • • •
KI
«Ш ®п2 • • • ап
(4.84)
Рангом R матрицы называется максимальное число линейно независимых ее строк (или столбцов), рассматриваемых как векторы.
Если бы ошибки в измерении величины yt равнялись нулю, то уравнения (4.81) с Yi вместо yt должны были бы удовлетворяться точно, и для того чтобы система (4.81) имела единственное решение, было бы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы (4.84) был равен т. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы выполнялось условие п > т.
