Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если ц,,! > 0, то между X и Y существует положительная, а при р.1,1 <0 — отрицательная линейная статистическая зависимость.
имеет размерность произведения размерностей случайных величин XaY. Удобно ввести в рассмотрение 172
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР
IVЛ. >
безразмерную характеристику
Им
г =
3X3Y '
где ox, Oy соответственно стандарты X и Y.
Характеристику г называют коэффициентом линейной корреляции или просто коэффициентом корреляции случайных величин XnY.
Как это следует из неравенства Шварца, всегда
-1 < г < 1. (3.148)
Если X и Y взаимно независимы, то согласно (3.147) их коэффициент корреляции равен нулю.
Определим коэффициент корреляции в том случае, когда Y является линейной функцией X:
Y = аХ+ Ь. (3.149)
В этом случае Y = аХ -f Ь, у — F = а (X — X) и
/ (х, y)dx dy= б {у — ах — b)fx (x)dx =
= 6 (у — ах — b)U (y)dy.
Поэтому находим
oo oo
Цы= S S (x — X)(y — 7)f(x,y)dxdy = —00 —00
OO
= ^ а(Х -^)2/l (®)<fo = ЯЗІ,
— эо
OO 00
<&= S S {y-Yff{x,y)dxdy =
—OO —эо
OO
= j а2 (x — x)2 z1 (х) rix = а-ох
и
Sy = І а I a*. (3.150)
так как стандарт всегда положителен.
Следовательно, когда Y есть линейная функция X, то
Обу
T = -^r = Signa. (3.151)
Ieiei МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
173
Коэффициент корреляции равен 1, если а > 0, и равен —1, если а <0.
Отсутствие линейной статистической зависимости и функциональная линейная зависимость между X и У — это крайние частные случаи. В общем случае между X и У существует линейная статистическая зависимость и их коэффициент корреляции отличен ОТ 0 и ОТ +1: он заключен в промежутке (—1, 1). Чем больше I Г I, тем сильнее линейная статистическая зависимость между X и У. Она положительная, если г > 0, и отрицательная, если г <0.
Задача 70. Найти параметры двумерного нормального распределения:
><*•*>-I=TT=?'" (ЗЛ52)
где
(3.153)
Решение. Находим
(.v-x)'
во --J—
и (*)=$/ (X, у) dy = —1=- е 20I , (3.154)
—во
Iv-УУ
U(V)= \i(x-,y)dx = —L^e 2o* (3.155)
—-о
Таким образом, каждая из случайных величин X и У распределена нормально.
а і » од, о, - оу.
Найдем смешанный центральный момент второго порядка:
oo oo
Иы = I S (* - х) (y — Y)f (X, y)dxdy =Sp3lCJ2. (3.156)
—зо —оо
Равенство (3.156) показывает, что р есть коэффициент корреляции Xh У. Глава 4
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ
§ 49. Статистические коллективы
Пусть рассматриваются объекты, которые могут отличаться друг от друга значением некоторой определенной характеристики, Всякое каким-то образом выделенное множество таких объектов называется статистическим коллективом (или генеральной совокупностью), а объекты, в него входящие,— членами этого статистического коллектива. Число членов статистического коллектива т называется объемом статистического коллектива. Характеристика X, которая может принимать различные значения у различных членов коллектива, называется аргументом статистического коллектива.
Можно, например, рассматривать как статистический коллектив звездное скопление, считая аргументом массу (или температуру, или показатель цвета и т. д.) его членов-звезд. Можно также мысленно выделить как статистический коллектив множество всех звезд спектрального класса В, входящих в состав Галактики, считая их светимость (количество энергии, излучаемой в единицу времени) аргументом.
Примерами статистических коллективов будут множество частиц плазмы в некотором объеме с аргументом,— величиной заряда у частицы,— или множество всех молекул кислорода, находящихся в воздухе внутри данного помещения, с аргументом,— модулем скорости молекулы.
Пусть в статистическом коллективе значение аргумента Xi имеют Wl1 членов, X2 — Wl2 членов И Т. Д., Xh — Wlft членов. Числа
ти т...............(4.1)
называются частотами соответственно значений
^li • • м Xfc
аргумента X.
(4.2) s 49] СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОЛЛЕКТИВЫ
175
Если т — объем статистического коллектива, то, очевидно, что
к
2 Tni = Tn. (4.3)
Величины
1-і
JSLtJSL1...^ (4.4)
т. ' т ' ' т v '
называются относительными частотами значений аргумента (4.2).
Очевидно, что если случайным образом извлечь из статистического коллектива один член, затем, после возвращения его обратно, снова случайно извлечь какой-то член и т. д., то значения аргумента извлекаемых членов можно рассматривать как значения случайной величины. Если объем статистического коллектива ограничен, то эта случайная величина может быть только дискретной. Согласно классическому определению вероятность р t того, что случайная величина примет значение Xi, равна
то.
относительной частоте аргумента —.
Для изучения статистического коллектива используется аппарат, применяемый при исследовании случайных величин.
Статистический коллектив определяется интегральным законом распределения аргумента, рассматриваемого как случайная величина:
F(X) = Р(Х<х)= 2 5- = 4-2 яц. (4.5)
Произведение
mF (х)
дает число членов коллектива со значениями аргументов, не превосходящими X. Аналогично,
