Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Моменты относительно начала а (а удобно принять равными 14 или 15) вычисляются по формуле
h,a = %{M-a)*f(M), (4.17)
м
которая отвечает и равенству (2.48) и (2.49). Затем по формулам (2.63) и (2.65) — (2.67) определяются M0, цг, ц8 и р.«, и при помощи (2.89) и (2.92) асимметрия и эксцесс.
Результаты вычислений для функций светимости Па-ренаго и Лейтена имеют вид
Функция Функция
Паренаго Лейтена
Mo +12,73 +13,55
б» 3,850 3,873
As — 0,708 — 0,610
Ex 0,0059 + 0,230 180 оценивание параметров распределениЯ ігл. 4
Стандарты обеих функций практически одинаковы. У функции Паренаго меньше средняя абсолютная величина (больше средняя светимость), больше по абсолютной величине асимметрия и меньше эксцесс.
Если члены статистического коллектива могут отличаться друг от друга значениями двух или более характеристик, то такой статистический коллектив называется многомерным. Многомерный статистический коллектив может изучаться при помощи аппарата, применяемого для исследования случайных векторов.
§ 50. Случайная выборка из статистического коллектива
Если из статистического коллек'щва объема т случайным образом извлечь один член, затем, не возвращая его, второй член и т. д., то полученная таким образом совокупность значений
X1, X2.....Zn (4.18)
называется случайной безвозвратной выборкой объема п. Очевидно, что п т.
Если каждый раз после извлечения члена статистического коллектива записывать значение аргумента и возвращать член коллектива обратно, то совокупность (4.18) называется случайной возвратной выборкой объема п. В этом случае значение п не ограничено.
Если статистический коллектив имеет бесконечно большой объем, то понятия безвозвратной и возвратной выборки совпадают.
В дальнейшем нас будут интересовать случайные выборки из статистического коллектива бесконечно большого объема. Пусть плотность вероятности аргумента в нем есть / (X). Случайную выборку (4.18) можно рассматривать как случайный n-мерный вектор. Все компоненты этого вектора имеют одну и ту же плотность вероятности и взаимно независимы. Поэтому плотность вероятности случайного вектора (4.18) определяется равенством
п
/п (з-і» ®г» • • м ®n) Uf(Xl). (4.19)
1-і случайная выборка
181
Можно рассматривать различные характеристики случайной выборки, например, выборочную сумму
п
и = 2 Zi, (4.20)
{=1
выборочное среднее *)
U
4- 2 (4.21)
i=l
выборочную дисперсию
п
O2=-T 2 (4.22)
i=i
наименьший элемент выборки — min (Z1, Z2, . . ., Zn), наибольший элемент выборки — max (X1, X2, . . ., Zn) и другие.
Эти характеристики сами являются случайными величинами. Любая функция выборки rj (X1, Z2, . . ., Zn) есть случайная величина.
Пусть ж0 — математическое ожидание аргумента в статистическом коллективе. Определим математическое ожидание выборочного среднего:
п п
MX = M(-L ^xi) =-L ^MXi=-Lnx0 = X0. (4.23)
^ i=l ' 1=1
Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно математическому ожиданию аргумента статистического коллектива.
Пусть Oq — дисперсия аргумента в статистическом коллективе. Найдем дисперсию выборочного среднего
її
OL = M (Х- MXf = М(Х - X0Y = м|4-2(хі - *o)f =
L 1=1 J
n
-= 2 м (Xi - x0Y+22 ^ - *o) (xs -x„)].
1=1 1Vtf
*) Отметим, что, в отличие от предыдущих глав, X здесь обозначает не математическое ожидание аргумента X, а среднее по индивидуальной выборке, т. е. случайную величину. 182 оценивание параметров распределениЯ ігл. 4
Так как X1 и Xj взаимно независимы, то M [(Xi — х0) х X (Xj —— ж<,)] = 0, если і Ф /. Следовательно,
4 = ^o =-г6«- (4-24>
Дисперсия выборочного среднего равна дисперсии аргумента статистического коллектива, деленной на п.
Найдем математическое ожидание выборочной дисперсии
п
Mo2 = M-I-S(Xi-X)2 = 1=1
п
= ±м 2 [(Xi-Xe)--L^(Xj-Xo)I =
i=l L J=O
П 11 п
= -T М Г 2 (Xi - X0)2 - 2 -L 2 2 (;Yi _ X8) (X,- - х0) + 1=1 1=1 j=i п п
1=1 J=I
= -L [П320 - 2з2 + O2I = & (4.25)
Таким образом, математическое ожидание дисперсии случайной выборки меньше дисперсии аргумента статистического коллектива. Поэтому дисперсию (4.22) случайной выборки называют смещенной дисперсией и наряду с ней рассматривают величину
Tl
S2 = -^1-O2 = -J--J- 2 (Xi - (4.26)
1=1
для которой согласно (4.25) справедливо равенство
MiS2 = о2. (4.27)
St называется несмещенной выборочной дисперсией. Введем также случайную величину
Тг S'1
точечные оценки параметров
183
математическое ожидание которой
MT2 = м 2 № - ^)2 = 4 = 4 (4-29)
равно дисперсии выборочного среднего.
T2 называется приведенной несмещенной выборочной дисперсией, a T — приведенным несмещенным выборочным стандартом.
§ 51. Принцип наибольшего правдоподобия.
Точечные оценки параметров
На практике функция распределения аргумента (одномерного или многомерного) в статистическом коллективе обычно является неизвестной. Известна лишь случайная выборка из статистического коллектива. Такой случайной выборкой является ряд наблюденных значений аргумента статистического коллектива. Задача состоит в том, чтобы по данным случайной выборки вынести суждение о распределении аргумента в статистическом коллективе. При этом возможны два случая.
