Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
= TUfi-U(X-X0)2, (4.49)
где согласно (4.42) и (4.43) X — среднее значение аргумента, а о — стандарт выборки. Следовательно,
/(X1, X2,..., Xn)= е 800 2e° , (4.50)
где с = (з0/2я)Л 188 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ігл. 4
Равенство (4.50) показывает, что плотность вероятности случайного вектора-выборки с подставленными вместо переменных соответствующими значениями этой выборки определяется его средним X и стандартом о. Различные выборки объема п, имеющие одинаковые значения X и о, имеют одинаковые плотности вероятности.
Определим плотность вероятности случайного вектора (ЗГ, а). Величина
fx (х, a)dx da
есть вероятность того, что среднее значение и стандарт выборки попадут соответственно в промежутки
[х, X + da], [о, о + do], (4.51)
h(x, a)dxda = §... $/(?,..., XrJdx1... dxn, (4.52)
G
где G — область пространства (X1, X2, . . ., хп), содержащая все точки, для которых определяемые по формулам, соответствующим (4.42) и (4.43), г и а попадают в область (4.51).
Согласно (4.50) плотность вероятности / (X1, х2, ... . . ., х„) постоянна в области G. Ее можно вынести из-под знака интеграла в (4.52)
Tl «- -- ft
Z1 (2, б) dx da = се 2в° 2в° S ... S dxx... dxn. (4.53)
G
Интеграл в правой части (4.53) равен объему области G. Чтобы найти его, заметим, что согласно (4.42) и (4.43) для попадания X и а в область (4.51) необходимо, чтобы в n-мерном пространстве точка (?, х2, . . ., хп) была заключена между параллельными гиперплоскостями
п
2 Xi = пх, (4.54)
п
2 Xi = п (X + dx), (4.55)
і—1 I Ml РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО 189
и между концентрическими гиперсферами
п
2 (Xi - Xf = ю\ (4.56)
i=l п
2 (*t-Xf = п(a + dsf. (4.57)
i=l
Гиперплоскость (4.54) проходит через точку (х, х, . . . . . ., X), являющуюся центром гиперсфер (4.56) и (4.57). Радиус гиперсферы (4.56) равен oj/n• Расстояние между гиперплоскостями равно V~n dx, разность радиусов гиперсфер — Vn da.
Область G есть кольцо ширины У~п dx и толщины Vn da, заключенное между двумя гиперсферами и двумя гиперплоскостями. Сечение n-мерной гиперсферы плоскостью, проходящей через центр, образует (п — 1)-мерную гиперсферу того же радиуса. Объем (п — 1)-мерной гиперсферы пропорционален (п — 1)-й степени ее радиуса, а площадь ее поверхности пропорциональна (п — 2)-й степени радиуса. Объем области G равен произведению площади поверхности (п — 1)-мерной гиперсферы (длина окружности кольца) на ширину и толщину кольца. Следовательно, объем
5... $ dxx... dxn = C1On"* dx da, (4.58)
в
где все множители, содержащие степени п, включены в коэффициент Ci.
Подставляя (4.58) в (4.53), находим
П .. Tl .
—j-<*-*•>•--г
f1(x,a)dxda = C2On-^e 2°° 2°° dxda. (4.59)
Правая часть (4.59) разбивается на два множителя, из которых один зависит только от 2, а второй только от о. Из этого следует, что случайные переменные X и о не зависят друг от цруга. Выборочное среднее и стандарт 190 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ іГЛ. 4
нормальной генеральной совокупности взаимно независимы. Плотности вероятностей этих случайных величин имеют вид
-JL-S-*.).
U (S) = Сяе , (4.60)
п
Zs(S) = C4^e 2e" , (4.61)
где
CaC4 = C2. (4.62)
Таким образом X распредлено по нормальному закону
с дисперсией, равной ojj/n, и средним, равным х0. Согласно нормировке нормальной функции
^ - Vn (4.63)
Oe У"2я '
Так как а может принимать значения в промежутке [О, оо j, нормировка Ci дает
ne« n—S оо — — -— я It-)
C4^ 0п-*е teO ds = C4^r-Jj t 2 ^dt = 1.
о „"і" о
Таким образом,
Tt-1
п-,~" 2 • (4.64)
Подставляя (4.63) и (4.64) в (4.59), окончательно получаем
— n(ac—у,)М-пд'
, . . И® Sn"2 «<»« ссч
А (г, б)=»-—:--—— в • (4-65>
»—а » . \
га— г (J-I) S 55] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА
191
§ 55. Распределение Стыодента. Оценивание параметров при помощи доверительного интервала
Рассмотрим новую случайную величину
Z = Х~хп , (4.66)
характеризующую случайную выборку, и найдем плотность вероятности случайного вектора (Z, а):
/(z, <з) dz da = fi (г, a)dxda =
n—a . ..
/яг"Г (-^i)
е eO dz da. (4.67)
Чтобы найти плотность вероятности Z, проинтегрируем (4.67) по всем возможным значениям о:
Г (JL) «
/о Ю =-HT=TT(1 + z2) 2 • (4Л8)
Распределение (4.68), называемое распределением Стыодента, примечательно тем, что оно не зависит от параметров X0 и G0 нормальной генеральной совокупности. Введем случайную величину
U = ZVnzrI = Х7*" VnzrI-, (4.69)
ее распределение определяется плотностью
Вероятность того, что U UO абсолютной величине не 192 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ і
гл. 4
превзойдет некоторого числа х>0, равна
X
P (- х < U < х) = 5 s(u) du. (4.71)
—X
Подставив вместо U его выражение (4.69) в неравенства —х < и < х, получим равносильные им неравенства
+ (4.72)
Vn-I у п—1
Следовательно, (4.71) можно записать в виде
P (X - хТ < Z0 < X + хЛ = 5 (х, и), (4.73)
где Г согласно (4.28) есть приведенный несмещенный выборочный стандарт,
