Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
7.8
8.6 9,5
10,3 11,2 12,0 12,9 13,7 14,6
0.01
6,6 9,2 11,3 13,3
15.1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,3 24,7
26.2 27,7 29,1
0,70
0,148 0,713 1,424 2,19
3.00 3,83 4,67 5,53 6,39 7,27
8.1 9,0 9,9
10,8 11,7 12,6 13,5 14,4 15,4 16,3
0.50
0,455 1,386 2,266 3,36 4,35 5,35 6,35 7,34 8,34 9,34 10,3 11,3 12,3 13,3 14,3 15,3 16,3 17,3 18,3 19,3
0.30
1,07 2,41 3,66 4,9 6,1 7,2
8.4
9.5
10.7
11.8 12,9
14.0
15.1
16.2
17.3
18.4
19.5
20.6
21.7
22.8
0,005
7,9 11,6 12,8 14,9 16,3 18,6 20,3 21,9 23,6
25.2 26,8
28.3 29,8 31
0,002
9,5 12,4
14.8
16.9 18,9 20,7 22,6
24.3 26,1 27,7
29.4 31
32.5 34
0,001
10,83
13.8 16,3 18,5 20,5
22.5 24,3 26,1
27.9
29.6 31,3 32,9 34,5 36,1 210 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ іГЛ. 4
Таблица 8 (продолжение)
X 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001
15 16 17 18 19 20 19,3 20.5 21.6 22,8 23,9 25,0 22.3 23,5 24,8 26,0 27,2 28.4 25.0 26.3 27,6 28,9 30.1 31.4 28,3 29.6 31,0 32,3 33.7 35,0 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 32,5 34 35,5 37 38,5 40 35,5 37 38,5 40 41,5 43 37.7 39.2 40.8 42.3 43,8 45,3
сказать, что гипотеза не отвергается. Однако, если объем выборки п достаточно велик (необходимо при этом, чтобы каждое из mi было достаточно велико) и вычисленная величина P (и, х) оказалась немалой в сравнении с единицей, то естественно считать, что истинная функция распределения аргумента в статистическом коллективе близка к гипотетической.
В таблице 8 приведены значения и, соответствующие значениям P (и, х) и числу степеней свободы х. Можно считать, например, что если при данных значениях и их P (и, х) > 0,05, то результаты случайной выборки не противоречат принятой гипотезе.
Задача 71. Измерение лучевых скоростей 300 галактик в скоплении галактик дало следующие результаты:
Таблица 9
Интервал скоростей, км/сек Число галактик, Wlj Интервал скоростей, км/сек Число галактик, Wlj
2170-2200 2200-2230 2230—2260 2260-2290 2290-2320 2320-2350 2350—2380 2380—2410 18 29 28 36 39 30 2410-2440 2440-2470 2470—2500 2500-2530 2530-2560 2560-2590 2590-2620 27 20 20 14 10
Опредить, противоречат ли эти данные предположению о максвелловском распределении скоростей галактик в скоплениях. I 59] ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ O ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 211
Решение. При максвелловском распределении скоростей (см. задачу 62) распределение проекций скоростей на любое направление является нормальным. Следовательно, рассматриваемая гипотеза состоит в том, что функция распределения лучевых скоростей X имеет вид
, (X-XtV
,v ' аУгя
Как было показано в § 53, в нормальной генеральной совокупности точечная оценка среднего значения аргумента, даваемая принципом наибольшего правдоподобия, равна выборочному среднему, а точечная оценка дисперсии статистического коллектива равна выборочной дисперсии. Таким образом, точечные оценки
л
X0 = X = 4" S mixi = 2378, 1=1
к
O0 = б = ["4" S mi te - я)2!'7' = 122,7. 1 1=1 J
С этими значениями X0 и сг0, используя таблицу 1 значений нормальной функции, можно вычислить по формуле (4.116) вероятности pi- После этого при помощи (4.119) вычисляем:
U = 29,6.
Таблица 8 показывает, что при х = 13—2—1 = 10
V (Ш{ - пр{у
вероятность того, что случайная величина 2л —^-
примет значение, равное 29,6 или большее, равна 0,001. Таким образом, полученная выборка лучевых скоростей противоречит гипотезе о максвелловском распределении скоростей галактик в скоплениях. Глава 5 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 60. Понятие случайной функции
Случайной функцией X (t) называется такая функция, которая для любого значения своего аргумента является случайной величиной. Таким образом, если мы выберем какие-то п произвольных значений аргумента
Jj, J2, . . ., tn, (5.1)
то им будет соответствовать п случайных величин
X1 = X H1), Xi = X (?), ...,Xn = X (tn). (5.2)
Каждая из этих случайных величин характеризуется некоторой плотностью вероятности. В общем случае задания плотностей вероятности
/і (*і). /і (?). • • M /і (*») (5.3)
случайных величин (5.2) при любом выборе совокупно -стей значений аргумента (5.1) недостаточно для задания случайной функции X (t). Необходимо (и достаточно), чтобы были заданы все многомерные (конечномерные) плотности вероятности
/n (?. Xi, . . ., хп) (5.4)
для любых совокупностей (5.1) значений аргумента. Вместо употребления записи (5.1) и (5.4) удобнее многомерную плотность вероятности записывать сразу в виде
/и ('і> ^і» xit . . .; tn, xn). (5.5)
Если n = 1, то соответствующая плотность вероятности (5.5) называется одномерной, если п = 2, то двумерной и т. д. Случайная функция определяется своими плотностями вероятности всех порядков.
Если пространство заполнено движущимися частицами, то число частиц внутри некоторого фиксированного объема есть случайная функция времени. В каждый момент времени число частиц в объеме является случа йной S 60] ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 213
величиной, подчиняющейся распределению Пуассона. Но эти случайные величины для различных моментов времени взаимно зависимы. Если, например, в некоторый момент времени число частиц в объеме превышает среднее число частиц для этого объема, то через промежуток времени, малый в сравнении со средним временем пересечения частицей объема, условные вероятности больших чисел частиц в объеме больше, чем в том случае, если число частиц в первый момент было ниже среднего.
