Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
В примере, в котором случайной функцией является высота точки поверхности моря, при аргументе — координате точки, стационарность будет в том случае, когда вся рассматриваемая область моря находится в одинаковых усовиях, она не содержит бухт, где волны слабее, чем в открытом море, и не настолько обширна, чтобы условия на периферии из-за иного микроклимата отличались от 5 Cl] КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 217
условий в центральной части области. Если же для той же случайной функции аргументом является время, то для стационарности нужно, чтобы в течение рассматриваемого промежутка времени соотношение между высотой волн и силой и направлением ветра было таким, чтобы волны не возрастали и не ослабевали, общее состояние поверхности моря оставалось неизменным во времени.
Для того чтобы случайная функция — толщина нити была стационарной, необходимо, чтобы в течение рассматриваемого промежутка времени был неизменен режим работы станка.
Случайные процессы, изображенные графиками нескольких их реализаций на рис. 15, а, имеют черты стационарного процесса. На рис. 15, б приведены реализации, характерные для нестационарных процессов. Категорично утверждать это на основании графика, разумеется, нельзя.
Процесс X (J) называется стохастически непрерывным, если при любом е > О
Iim P {| X (< + AJ) — X (J) | > є} = 0. (5.9)
Случайный процесс X (t) называется чисто разрывным, если для любого промежутка аргумента [t, t + AJ] функция X с вероятностью 1 — р (t, х) At — о (At) остается неизменной, равной X (t), и лишь с вероятностью р (t, х) At + о (At) может претерпеть изменение. Таким образом, при чисто разрывном случайном процессе случайная функция может изменяться только скачкообразно. Пример чисто разрывного процесса приведен на рис. 16.
В приведенных выше примерах случайные функции — число частиц в некотором объеме как функция времени или координаты, а также видимая величина ярчайшей (или &-й по яркости) звезды в площадке как функция координаты, являются чисто разрывными случайными процессами.
Допустим, что для любых значений аргумента (5.1), удовлетворяющих условиям J1 < J2 <. . . < Jn, и любых чисел
X1, хг, . . . , Xn, (5.10) 218
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
которые в некоторой реализации приняла случайная функция, условная вероятность того, что для значения аргумента tn+i > t„ случайная функция примет значение в промежутке [хп+1, zn+1 + &гп+1] при условии, ЧТО X (ti) попало в промежуток [zj, Xi + dxi] (і = 1, . . ., n), зависит только от хп, и не зависит от Z1, z2, . . ., zn_x. Тогда случайный процесс называется марковским или процессом без последействия.
Из приведенных выше примеров марковским является процесс изменения скорости молекулы при столкновениях с другими молекулами и изменение скорости звезды в результате сближений с другими звездами. Вероятность того, что молекула будет иметь скорость в заданном промежутке в некоторый последующий момент, при условии, что в момент t ее скорость была равна х, зависит от х, но не зависит от того, какие скорости имела молекула в течение времени, предшествующего моменту t.
Остальные приведенные примеры случайных процессов являются немарковскими.
Определение марковского процесса показывает, что он полностью задается двумерными плотностями вероятностей, так как для марковского процесса
fn(t Хп) =
=/2 (ti, Z1; t2, хг) f 2 (t2, х2; tз, z8)• •. /2 (tn-u хп- i5 tn,Xn). (5.11)
Задача 72. Плотность числа частиц в пространстве постоянна, составляет п частиц в единице объема. Найти конечномерные распределения случайной функции — чи-
X(t)
О
t
Рис. 16, 5 Cl] КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 219
ела частиц в фиксированный момент времени внутри цилиндра, который может занимать различные положения, так что ось его при этом совпадает с некоторой фиксированной прямой. Объем цилиндра равен 1, площадь его основания равна 1.
Решение. Вследствие того, что плотность заполнения пространства частицами во всей области постоянна, рассматриваемый случайный процесс стационарный. Случайная функция — число частиц — может принимать
Рис. 17.
только целые неотрицательные значения. Аргументом является расстояние центра цилиндра от некоторой точки на фиксированной прямой (рис. 17). Одномерное распределение является законом Пуассона и не зависит от значения аргумента,
P(t,x) = P(0,x) = ^f-. (5.12)
Для нахождения двумерного распределения рассмотрим два значения аргумента J1 и J2 и сдвиг цилиндра обозначим т = J2 — h-
Высота цилиндра равна 1. Если сдвиг цилиндра т > 1, то число частиц внутри цилиндра при J = J2 не зависит от числа частиц при J = J1, и
P (h, S1; Xi) = (^f) (?!). (5.13)
Пусть теперь т <1. Числа частиц в трех цилиндрических областях высотою т, 1 — т и т, изображенных на рис. 17 и обозначенных римскими цифрами I, II и III, независимы друг от друга. Поэтому, найдя вероятности того, что в области I число частиц равно X1 — х, в области II — X, в области III — Xi — X, и просуммировав по 220
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ІГЛ. 5
