Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
В первом случае вид функции распределения аргумента в статистическом коллективе известен с точностью до одного или нескольких параметров. Необходимо по данным случайной выборки произвести оценку неизвестных параметров.
Во втором случае неизвестен сам вид функции распределения аргумента в статистическом коллективе. Необходимо по случайной выборке произвести проверку гипотез о виде функции распределения аргумента в статистическом коллективе.
Сначала рассмотрим первую задачу. Пусть плотность вероятности одномерного аргумента X в статистическом коллективе есть / (ж; аи а2, . . ., ah), где аи а2, . . ., ah — неизвестные параметры.
Допустим, что получена случайная выборка значений аргумента
Xi, X2, . . Zn. (4.30) 184 оценивание параметров распределениЯ ігл. 4
Как отмечалось выше (см. (4.19)), плотность вероятности, отвечающая данной выборке, равна
п
L (X1, X2,..., Xn; O1, а2,..ак) = 2 / (? ai> аг> - • •» ак)•
i=-l
(4.31)
Функция L называется функцией правдоподобия.
Принцип наибольшего правдоподобия состоит в том, что выбираются такие значения параметров аи а2, . . ., ah, при которых функция (4.31) достигает максимума. Эти значения называют точечными оценками параметров
O1, O2, • • ., Oft.
Для практического решения задачи вместо L удобно рассматривать In L, и тогда согласно правилу определения максимума функции многих переменных для нахождения точечных оценок параметров а, нужно решить систему уравнений
Э1п? _ у aiB/(Xt;«,,«......ak)
—.--Щ-] — 1,к.
і і=1 і
(4.32)
§ 52. Принцип наибольшего правдоподобия в статистическом коллективе
с дискретным аргументом. Точечные оценки вероятностей
Пусть аргумент статистического коллектива может принимать к значений
хи х2, . . .,хк. (4.33) Соответствующие вероятности равны
Pu Рг, • • Ph, (4.34)
M к
причем Pi= И 2 Pi = 1=1
Допустим теперь, что вероятности (4.34) неизвестны, но из статистического коллектива извлечена случайная (возвратная, если он ограниченного объема) выборка, i 52] точечные оценки вероятностей
185
давшая соответствующие частоты
к
»1. л». •¦•.»** ( S "i = nJ • (4-35)
Нужно определить наиболее вероятные значения (4.34). Вероятность случайной выборки (4.35) равна
L(пи п2,..., щ; plt рг,..., рк) = m! n2f Pi'Pas*---Pk*-
(4.36)
Значения P1, р2, - - -,Ph можно рассматривать как параметры распределения статистического коллектива.
Принцип наибольшего правдоподобия для статистических коллективов с дискретным аргументом состоит в том, что выбираются такие значения параметров Pu Pt, • • •> Phi при которых вероятность случайной выборки (4.33) максимальна. Вследствие того, что величины
к
(4.34) должны удовлетворять условию 2 Pi = 1, дляполу-
i=l
чения максимума (4.36) необходимо решить систему уравнений
к
S а] =0, 7 = 1,2,..., к, (4.37)
где у — неопределенный коэффициент Лагранжа. Выполняя дифференцирование и умножая полученные уравнения
на , придем к системе уравнений
(4.38)
Из (4.38) следует, что Щ- от / не зависит и, следовательно,
j»j
Pl = сп}, (4.39)
т. е. согласно принципу наибольшего правдоподобия вероятности Pj пропорциональны соответствующим частотам выборки. 186 оценивание параметров распределения ігл. 4
к
Подставляя (4.39) в равенство 2 А = 1 находим, что
точечные оценки вероятностей Pj нужно принять равными относительным частотам выборки, т. е.
W = -T' /=1,2,..., ft. (4.40)
Этот результат представляется естественным.
§ 53. Принцип наибольшего правдоподобия в статистическом коллективе с нормально распределенным аргументом. Точечные оценки математического ожиданйя и дисперсии аргумента
Статистический коллектив с нормально распределенным аргументом называется нормальным (или нормальной генеральной совокупностью). Он характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием аргумента х0 и дисперсией аргумента а\.
Пусть получена случайная выборка
-Xi» Xs, . . ., Xn', (4.41)
ее выборочное среднее
*=4- is (4-42)
1=1
и выборочная дисперсия
п
(4.43)
1-1
Функция правдоподобия имеет вид
п
In L (х0, Sq) = — п In (Зо Ущ -J-^ (Xi- х0)\ (4.44)
"5O г—1
Находим значение х0, при котором In L максимален, полагая
(4.45)
О 1=1 і 54] распределение выборочного среднего 187
поэтому точечная оценка математического ожидания аргумента есть
п
-Xo = — 2 Xi = X1 «-і
т. е. равна выборочному среднему значению. Далее,
Hsr.-¦+І t<*' -- - T+г'' =
" ° (4.46)
откуда находим
о? = о2, (4.47)
т. е. выборочная дисперсия есть точечная оценка дисперсии нормальной генеральной совокупности.
§ 54. Распределение выборочного среднего значения и стандарта в выборках из нормальной генеральной совокупности
Плотность вероятности выборки (4.41) из нормальной генеральной совокупности при Xi = Xt, і = 1, . . ., п, равна
п
--T S <*!-*•>* / [X1, X2,..., Xn) = (а„ Vlk)-" е 80o . (4.48)
Преобразуем сумму, входящую в показатель экспоненты (4.48),
п п
S(Xi-X0)8= ^ [(X1-X) +(X-X0)Y =
