Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
п
2 т,
-?--> О при п-уоо, (3.114)
то для любого заданного Z интегральный закон распределения
—OO
равномерно по z.
Таким образом, при выполнении условия (3.114) сумма случайных величин асимптотически нормальна.
Бели число слагаемых в (3.113) конечно, но велико, то распределение Z близко к нормальному.
На основании центральной предельной теоремы и результатов, изложенных в предыдущих параграфах, можно утверждать, что чем больше слагаемых в сумме (3.113) и чем ближе распределение каждого слагаемого к нормальному распределению, тем ближе к нормальному распределению и распределение Z.
Этот вывод подчеркивает важную роль нормального распределения в теории вероятностей.
§ 45. Функция распределения случайных ошибок наблюдений
Допустим, что истинное значение некоторой величины есть х0. Измеряя эту величину, как правило, получают результат, отличный от х0. Бели измерение выполняется многократно, то результаты измерений не только отличаются от х0, но в большинстве случаев различны и между собой. Обозначим результаты измерений:
Xi, Xi, • • ч
Разности
Sj = Xt — х0, і = 1, 2, . . ., п, (3.116)
назовем ошибками измерений величины х0.
6 Т. А. Агекян 162
случайный вектор
IVЛ. >
Отношение ошибки измерения к истинному значению измеряемой величины (если последняя не равна нулю)
JL
Xo
называется относительной ошибкой измерения.
Практика измерений показывает, что нужно различать три вида ошибок: промахи, систематические ошибки и случайные ошибки.
Промахи — это ошибки, являющиеся результатом низкой квалификации лица, выполняющего опыт, производящего измерения, его небрежности или неожиданных сильных внешних воздействий на процесс измерений. Промахи обычно приводят к очень большим по абсолютной величине ошибкам. Необходимо, чтобы при выполнении измерений возможность промахов была полностью исключена.
Систематические ошибки являются следствием влияющих на измерения эффектов, действие которых не распознано и не устранено (или не учтено). Например, луч света звезды при прохождении сквозь атмосферу Земли преломляется и путь его искривляется. Вследствие этого эффекта, называемого рефракцией, измеряемая высота светил над горизонтом всегда больше истинной высоты. Бели рефракцию не учитывать, то в измерения высоты светила вносится систематическая ошибка. Причины, вызывающие систематические ошибки, исследуются в тех разделах физики, астрономии или иной науки, которые разрабатывают методику соответствующих измерений. Определяются правила исключения из результатов наблюдений систематических ошибок. Однако полное исключение систематических ошибок на практике не является возможным.
Случайные ошибки являются следствием причин, влияние которых на практике невозможно или очень трудно учесть. Этих причин очень много, а роль каждой из них незначительна и изменчива. Поэтому исследовать каждую из причин, предусмотреть ее влияние при данном измерении невозможно.
Допустим, наблюдатель отмечает момент прохождения звезды через нить в поле зрения телескопа. Вследствие большого числа очень слабых толчков, испытываемых § 45] функция распределения случайных ошибок 163
инструментом от проезжающих в отдалении автомашин, мелких сейсмических толчков, хлопаний дверьми в соседнем здании и т. д., направление оптической оси инструмента и, следовательно, положение нити изменяются, не соответствуют заданным. Точно так же влияют температурные эффекты — изменения температуры у различных частей инструмента, вызываемые движениями воздуха, остыванием ночью различных сторон башни, в которой установлен телескоп, влиянием самого наблюдателя, занимающего в разные моменты различные положения относительно инструмента и т. д. Случайные движения в атмосфере вызывают видимые смещения, мерцание звезды. Сам наблюдатель в разные моменты имеет различную психологическую настроенность на измерения, его реакция на наблюдаемое различна, ее изменения не поддаются учету. Он то фиксирует момент совпадения звезды с нитью несколько раньше, чем он это делает обычно, то запаздывает.
Каждый из перечисленных для данного вида наблюдений эффектов сам является суммой большого числа мелких эффектов, которые невозможно учесть. Можно лишь утверждать, что каждый мелкий эффект вносит некоторую ошибку, которая меняется от измерения к измерению, является случайной величиной, распределенной по некоторому закону. Например, если бы никакие влияния, вызывающие ошибки, не действовали, кроме одного — сейсмических колебаний почвы, появляющаяся в измерениях ошибка была бы случайной величиной, закон распределения которой определялся бы свойствами сейсмических явлений для данного места Земли и характером установки телескопа — его способности амортизировать толчки.
Можно принимать меры к уменьшению случайных ошибок. И это играет важную роль при организации измерений. Можно, например, в рассмотренной выше задаче наблюдений принять меры к тому, чтобы температурные влияния сказывались по возможности меньше: устроить вентиляцию башни (что приводит к выравниванию температуры отдельных частей инструмента), покрасить башню так, чтобы она меньше нагревалась днем солнцем, можно строить обсерватории дальше от дорог с сильным движением и вне сейсмических районов, в
