Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
о2 = pi^i . Рассмотрим случайные величины
7,-J^Sl-Xj/Z, (3.131)
V2 = w^f1 = - X Y^. (3.132)
Справедливо равенство
Y\ +Y\ = ^r, (3.133) 168
случайный вектор
IVл. >
в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Поэтому
U (Уи У*) dyxdyt = / (x) dx = е" ^(1^dVldyt. (3.134)
При этом принятое в теореме Муавра — Лапласа условие пх8 -*¦ 0 заменяется условием п~1'гу\ —>- 0, n~'/'yl О-Распределение (3.134) симметрично относительно случайных величин Y1 и Y2- Следует, однако, иметь в виду, что, как это вытекает из (3.131) и (3.128), задание одной из этих случайных величин с достоверностью определяет другую.
Рассмотрим теперь полную систему событий (A1, At, . . ., Ak), определяемую соответствующими вероятностями ри р2, . . ., рк, и мультиномиальное распределение
Pn К, ПН,..., тк) = ^im;',, Р?'Р? ¦ ¦ • P^
дающее вероятность того, что при п испытаниях события A1, A2, . . ',.Ah происходят соответственно Tn1, т2, . . раз. При этом
к к
2 а = і, 2 mi = »• (3-і35)
t=i i=i
Введем переменные
УІ = т!7—Рі , І = 1,2.....Ar. (3.136)
VnPi
Основываясь на (3.134), методом математической индукции можно показать, что при п -*• оо и п~ч*у? -> О, і = 1, 2, . . ., Ar, справедливо асимптотическое равенство
JE=i IV2
/ и \ 2 --»2jVi
к(У1,Уъ...,Ун)={-Ъг) е 1=1 • (3-І37)
Это и есть обобщенная теорема Муавра — Лапласа. f 471 ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА 169
Из условия (3.135) следует, что любая из случайных величин
y.-JuiZ^L і- 1 к ущ ' 1-1.....
определяется, если заданы остальные к — 1 случайных величин. Поэтому в распределении (3.137) можно число переменных понизить на единицу, получив, таким образом, аналог распределения (3.129). Рассмотрим для этого наряду со случайным вектором Y = (Y1, Y2, . . ., Yk) случайный вектор V = (V1, V2, ..., Vk), определяемый равенством
V = BY, (3.138)
где В — ортогональная матрица. Вследствие ортогональности В
к к
2 п = 2 Yf. (3.139)
i=l i=l
Ортогональных матриц бесчисленное множество, и мы можем задать еще одно равенство, связывающее какие-либо компоненты случайных векторов YhV. Примем в качестве такого равенства условие
к
Vk = ^VJiYi- (3.140)
i=l
На основании (3.136) из условия (3.140) следует, что к
Vk = -^l («І - прд = -^(п-п)=0. (3.141) У" I=! Vn
Таким образом, существует ортогональное преобразование вектора Y в вектор V, обеспечивающее условие Vk = 0.
Теперь можно написать
gk (fb V2,..., vk) dvydv-i... dvK =
(п \ 2
-^rJ е i=1 dyydy2...dyk=
к-1 IV® --j 2J «І
= Ce i=i dvx dv2... dvk-i. (3.142) 170
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР
IVЛ. >
Из (3.142) следует, что Vj1 Vt, . . ., Vh^1 являются взаимно независимыми нормально распределенными случайными величинами с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.
На основании результатов § 46 заключаем, что случайная величина
*U - ? - 2 Я - S -^rz- = SH (3.143) і—1 1=1 і-1
при п оо, пгх<'* (mt — прі)3(прі)~''г ->-0, 1 = 1,2,... ..., к, имеет асимптотическое распределение
/(u) = 2"Aai[r(-^i)]"1uJL21r^u. (3.144)
§ 48. Моменты случайного вектора. Ковффициент корреляции
Математическое ожидание функции
п
П№-а/« (3.145)
i=l
п
называется моментом порядка 2 относительно начал
i=»l
(«і, а2, . • ап) случайного вектора (X1, X2, . . ., Х„).
Если все at = 0, то моменты называются начальными, если все at = MXt, то моменты называются центральными. Математическое ожидание Xi равно
OO OO 00
= J J .. . J X-J (X1, ха,..., х„) dxi dxt... dxn, —•00 —00 —00
а дисперсия Xj—
б?= J (Xi — Xi)*f(x1,xi,...,xn)dxidxi...dxn.
—W —00 —OO МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
171
Эти определения совпадают, очевидно, с определениями, данными ранее, так как
J 5 S f(xi,x2,...,xn)dxidxi...dxi-idxui...dxn=f{xi).
— ОС —OO —OO
Моменты являются информативными характеристиками случайного вектора.
Для двумерного случайного вектора (X, Y) важной характеристикой является смешанный центральный момент второго порядка:
oo oo
Иы = S $ (X - (у - F) / (X, у) dx dy. (3.146)
—OO —OO
Рассмотрим смысл этой характеристики. Подынтегральное выражение в (3.146) положительно, когда отклонения X и у от математических ожиданий имеют одинаковый знак, и отрицательно, когда они имеют разный знак. Если отклонениям одного знака соответствуют, в общем, бблыпие значения функции / (х, у), чем отклонениям разного знака, то интеграл (3.146) оказывается положительной величиной. В противоположном случае он отрицателен.
Если XisY взаимно независимы, то
OO OO
Иы = S (* - X) и (*) dx J (у - У) и (у) dy = 0, (3.147)
— OO —so
так как центральные моменты первого порядка всегда равны нулю. Обратное утверждение неверно. Из равенства нулю Ці,і не следует, что X и Y взаимно независимы. Оно указывает лишь, что в среднем положительные отклонения одной из случайных величин X, Y компенсируются отклонениями определенного знака у другой из них. Можно сказать, что равенство нулю Ці,і означает отсутствие линейной статистической зависимости между X и Y.
