Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
4 2 I 02 02 я2 I
/(*, у, г) =-i—^e Vi 2 S /. (3.49)
3i3»3s (2л)
Распределение (3.49) называется распределением Шеарц-гиилъда. Оно является эллипсоидальным распределением. Это означает, что в пространстве скоростей плотность вероятности в точках поверхности эллипсоида
4 + 4. + 4 = С» (3.50)
«Ї *2 4
(при произвольном с) постоянна.
Общий вид эллипсоидального распределения таков:
/(*, у, Z) = Л (4 + 3- + 4)- (3-51)
\ 3J U3 /
Задача 65. Все направления трехмерного случайного вектора равновероятны. Функция распределения длины проекции X вектора на произвольное направление, fx (X), известна. Определить функцию распределения /а (р) модуля р случайного вектора.
Решение. Если а — угол между случайным вектором и заданным направлением, то
Х = р cos а,
причем 0 < а < я. Рассматривая случайные векторы (р, X) и (р, а) с плотностями g и glt можно написать
g (р, х) dp dx = gx (р, a) dp da =
= U (р)'Ф • у sin а da ='/a (p) dp • у —. 142
случайный вектор
IVл. >
Интегрируя по р и учитывая, что р > х, находим
ее
Ш= "И Т"/'(P)rfP- (3-52)
X
Продифференцировав уравнение (3.52) по х, окончательно получаем
/, (р) = - 2рД'(р). (3.53)
Задача 66. Ротационной скоростью v звезды называется линейная скорость точек экватора звезды, вызываемая вращением звезды вокруг своей оси. Измерение расширения линий в спектре звезды, обусловленное ее вращением, дает не истинную ротационную скорость, а ее проекцию на луч зрения — видимую ротационную скорость
у = v sin і, (3.54)
где і — угол между осью вращения звезды и лучом зрения. Величина V и у = v sin і у различных звезд различны и при случайном выборе звезды могут рассматриваться как случайные величины. Из наблюдений можно определить плотность вероятности видимой ротационной скорости / {у). Требуется, считая ее известной, найти плотность вероятности истинной ротационной скорости /i (г?) и найти зависимость между математическими ожиданиями и дисперсиями у и v. Предполагается, что все направления осей вращения звезд равновероятны.
Решение. Как было определено выше, функция распределения угла і есть с sin і. Поскольку г изменяется от 0 до я/2, коэффициент с = 1.
Рассмотрим взаимно однозначно определяющие друг друга случайные векторы (v, у) и (v, і) с плотностями g и gi. Из физическихсоображений очевидно, что случайные переменные V и і взаимно независимы. Поэтому равенство (3.32) можно записать в виде
g (V, у) dv dy = gi (V, і) dv di = ft (v) dv sin і di, (3.55)
где ft (V) — плотность вероятности v. Используя (3.54), перейдем в правой части (3.55) от і к у (при этом v нужно считать фиксированным и все множители брать по і з?)
математическое ожидание и дисперсия
143
абсолютной величине):
g (V, у) dv dy = /і (р) dv ^ dy.
Плотность вероятности / (у) равна интегралу от g (v, у) по всем возможным значениям v. Так как всегда v > у, то
OO
m~vs\ JT , dv- (3.56)
J D у ?2 _ у«
Уравнение (3.56) определяет зависимость между плотно стями вероятностей случайных величин у vi v. Так как из наблюдений определяется / (у), а искомым является fx (V), это уравнение — интегральное. Оно легко приводится к уравнению Абеля и имеет решение
V
Использование (3.57) для вычислений неудобно. На практике основной задачей обычно является нахождение средней истинной ротационной скорости и ее дисперсии для звезд различных классов. Найдем поэтому при помощи (3.56) зависимость между математическими ожиданиями V и у, а также их квадратов:
О OV
оо V оо
- WiW ¦*» - J »/•<»> dvT - т».
о и
Отсюда следует:
- 4 - 144
случайный вектор
IVл. >
Рассматривая совокупность звезд, у которых измерены видимые ротационные скорости, как статистический коллектив, и вычисляя в них у и у% по формулам
у = 4"
i=l Il
P = -S-S УЬ
i=l
найдем затем при помощи равенств (3.58) и (3.59) среднее значение и дисперсию истинных ротационных скоростей в этой совокупности звезд.
Аналогично, используя (3.56), можно найти зависимость между моментами любого порядка функций распределения видимой и истин-у. ной ротационной скорости
^ звезд.
Задача 67. Найти зависимость между функциями распределений квад-^ ратов истинных и видимых сферичностей галактик, считая, что галактики являются сжатыми эллипсоидами вращения и все ориентации их плоскостей симметрии равновероятны.
Решение. Истинной сферичностью сжатого эллипсоида вращения называется отношение его малой полуоси к большой. Обозначим квадрат истинной сферичности Один и тот же сжатый эллипсоид вращения при наблюдении его по различным направлениям представляется в виде эллипса с различной по величине малой полуосью и постоянной большой полуосью. Назовем видимой сферичностью галактики отношение малой полуоси к большой полуоси ее видимого эллипса. Квадрат видимой сферичности обозначим т). Рис. 13 показывает, как зависит величина малой полуоси видимого эллипса, равная (большая полуось принята за 1), от угла і между направлением луча зрения и плоскостью симметрии галактики.
