Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 37

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 71 >> Следующая


Р I • • • S / (ж1> • • •> хк) dxI- • • dxHJ (3.21)

Q

где область Q охватывает все точки (xlt . . ., xk) /с-мерного пространства такие, что (ylt . .., ут) принадлежит G, где У) = т]« (хи . . ., Xk).

Из (3.21) следует, что интегральный закон распределения случайного вектора (3.20) находится при помощи равенства

Fi(yi, №.. • м Pm) s J • • • J / (*1> • < м хк) dxI. • • dxm (3.22) Q

где область ^-мерного пространства Q определяется неравенствами

*)/ (хи Xit . . ., xk) <у}, і = 1, 2, . . ., т. (3.23)

Б самом деле, сопоставление равенств (3.19) и неравенств (3.23) показывает, что попадание случайного вектора (3.2) в область Q эквивалентно выполнению неравенств

Yt<ylt Yi<yi, ..., Ym < ут. (3.24)

Поэтому правая часть равенства (3.22), равная вероятности попадания случайного вектора (3.2) в область Q1 равна левой части этого равенства, представляющей вероятность выполнения условий (3.24).

Точно так же плотность вероятности случайного вектора (3.20) находится при помощи равенства

и(Уі,---*Ут)йУі- • • • • I f(xi,..., XlJdx1. . . dxk,

Q

(3.25) 134

случайный вектор

[гл. з

где «область» fe-мерного пространства Q определяется неравенствами

У і < % («і» .....хк) <.У} + Ау}1 / = 1,2,..., т.

(3.26)

Рассмотрим простейший случай, когда

Y = X1 + X2.

Найдем функцию распределения Y, если плотность вероятности / (X1, X2) задана. Согласно (3.22)

во V-X1

F3{y) = 5 /(Zi. x^dxxdxi = J Cte1 J f(xb x2)dx2. *й-*1<1/ —00 —00

Введем вместо X2 переменную интегрирования U = X1 +X2. Тогда

00 11 у OO

Fi {у) — S ^x1 5 / (хь и — X1) du = ^du ^ / (хь U-X1) (Jx1.

—•О —OO —OO —OO

(3.27)

Продифференцировав это равенство по у, найдем плотность вероятности

OO

U{y)= S /(X1, (Z-X1)CZX1. (3.28)

—00

Если X1 и X2 взаимно независимы, так что

/ (S1, X2) =-- Z1 (X1) /2 (х2),

то равенство (3.28) принимает вид

оо

U ІУ) = S /i (Si) U (У - Xi) dxL (3.29) —00

Равенство (3.29) можно трактовать как определенную операцию, выполняемую с функциями Д и /2, в результате чего получается функция /,. Эту операцию называют сверткой двух функций.

Рассмотрим важный частный случай общей задачи, когда т =* к и случайные векторы X и У взаимно одно- t sei ФУНКЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА

135

значно определяют друг друга, так что наряду с равенствами (3.19) мы можем написать

-^i == Ci (Yi, • • •» Yh),

= S2 (Уі» Yi, . . ., Ffc), ад

Xk = ?к (Уь Yi, . . ., Yh).

Тогда на основании (3.21) вероятность того, что случайный вектор Y = (F1, F2, . . ., Ffc) попадает внутрь параллелепипеда

ІУи Уі+йуА, [у2, Vt +djfol..... [у*, у к +?],

(3.31)

определится равенством

ft (Уі> У*> • • •> Уh) dyi &У% . • -Ayh =

= / (xi, Xi, . . ., Xk) dx і dxг . . . dxk, (3.32)

где ft — плотность вероятности вектора Y, (хи хг, . . ., xh) и (уи уг, . . ., ук) связаны с помощью функций а dxi, dx2, ..., dxk также определяются этими функциями (когда заданы dyu dy%, . . ., dyh), но берутся со знаком плюс.

Подставляя в правую часть (3.32) выражения X1, ... . . ., Xk через ух, . . ., ук и используя якобиан для перехода к дифференциалам новых переменных, находим

/і (Уи Уъ •• м Ук) dyi dy2... dyk =

= / ISi (!Ti, Vu •.., Ук), Ct О/і, Уг, • •., Ун), • •; Zk (Уи Уг, • -Ун)] X

3 (Ж!,»«, . . ., Xk)

X



dyi dy2... dyK. (3.33)

Якобиан должен быть взят по абсолютной величине, так как все множители в обеих частях равенства (3.37) положительны.

Равенство (3.33) позволяет найти плотность вероятности случайного вектора Y, если заданы плотность вероятности случайного вектора X и взаимно однозначная зависимость XhY- 136 случайный вектор ігл. s

§ 37. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин

Найдем математическое ожидание Y, если Y = X1 + + Xi и плотность вероятности / (хь Xi) произвольна. Воспользуемся для этого равенством (3.29):

OO OO

MY= 5 ydy 5 /(Z1, у — XjdX1 = —00 —00

OO OO OO OO

= 5 S (X1 + Xi) f (X1, Xi) dxz = 5 Xxdx1 § f(x1,xi)dxi+

—00 —00 OO OO

OO 00

+ § Ac1 § xif(x1,xi)dxi = MX1 + MXi. (3.34)

—00 —00

Таким образом, математическое ожидание суммы двух произвольных случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин.

Определим дисперсию Y, если X1 и X2 взаимно независимы:

OO

о* = 5 (У-Yfh(U)dU = —00

OO OO

= 5 (у-Yfdy 5 U(X1)U(у-X^dX1.

—OO —OO

Далее, меняя порядок интегрирования и используя (3.34), получаем

і• = $ h (X1) Jx1 $ Kx1 - X1) 4- (.га - Х2)\% (X2) вхг -— 00 —00

OO OO

= 5 (X1-ZifU(Xi)dXi 5 U(Xi)dXi +

—00 —OO

OO OO

+ 2 5 (X1-X1)U(X1)dxx 5 (X2- Xi)U(Xi) Axi +

—оо —оо

OO OO

+ I U(Xi) dxi $ (Xi-XiYji(Xi) dxi. І 37] математическое ожидание и дисперсия

137

Второе слагаемое справа равно нулю, поэтому

O3 = O21+ at, (3.35)

т. е. дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. По индукции получаем, что если

Y = X1 + X2 + . . . + Xn, (3.36)

то

F = X1 + J2 + ... +Xn. (3.37)

Если при этом Xi, X2, . . ., Xn взаимно независимы, то
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed