Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Р I • • • S / (ж1> • • •> хк) dxI- • • dxHJ (3.21)
Q
где область Q охватывает все точки (xlt . . ., xk) /с-мерного пространства такие, что (ylt . .., ут) принадлежит G, где У) = т]« (хи . . ., Xk).
Из (3.21) следует, что интегральный закон распределения случайного вектора (3.20) находится при помощи равенства
Fi(yi, №.. • м Pm) s J • • • J / (*1> • < м хк) dxI. • • dxm (3.22) Q
где область ^-мерного пространства Q определяется неравенствами
*)/ (хи Xit . . ., xk) <у}, і = 1, 2, . . ., т. (3.23)
Б самом деле, сопоставление равенств (3.19) и неравенств (3.23) показывает, что попадание случайного вектора (3.2) в область Q эквивалентно выполнению неравенств
Yt<ylt Yi<yi, ..., Ym < ут. (3.24)
Поэтому правая часть равенства (3.22), равная вероятности попадания случайного вектора (3.2) в область Q1 равна левой части этого равенства, представляющей вероятность выполнения условий (3.24).
Точно так же плотность вероятности случайного вектора (3.20) находится при помощи равенства
и(Уі,---*Ут)йУі- • • • • I f(xi,..., XlJdx1. . . dxk,
Q
(3.25)134
случайный вектор
[гл. з
где «область» fe-мерного пространства Q определяется неравенствами
У і < % («і» .....хк) <.У} + Ау}1 / = 1,2,..., т.
(3.26)
Рассмотрим простейший случай, когда
Y = X1 + X2.
Найдем функцию распределения Y, если плотность вероятности / (X1, X2) задана. Согласно (3.22)
во V-X1
F3{y) = 5 /(Zi. x^dxxdxi = J Cte1 J f(xb x2)dx2. *й-*1<1/ —00 —00
Введем вместо X2 переменную интегрирования U = X1 +X2. Тогда
00 11 у OO
Fi {у) — S ^x1 5 / (хь и — X1) du = ^du ^ / (хь U-X1) (Jx1.
—•О —OO —OO —OO
(3.27)
Продифференцировав это равенство по у, найдем плотность вероятности
OO
U{y)= S /(X1, (Z-X1)CZX1. (3.28)
—00
Если X1 и X2 взаимно независимы, так что
/ (S1, X2) =-- Z1 (X1) /2 (х2),
то равенство (3.28) принимает вид
оо
U ІУ) = S /i (Si) U (У - Xi) dxL (3.29) —00
Равенство (3.29) можно трактовать как определенную операцию, выполняемую с функциями Д и /2, в результате чего получается функция /,. Эту операцию называют сверткой двух функций.
Рассмотрим важный частный случай общей задачи, когда т =* к и случайные векторы X и У взаимно одно-t sei ФУНКЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
135
значно определяют друг друга, так что наряду с равенствами (3.19) мы можем написать
-^i == Ci (Yi, • • •» Yh),
= S2 (Уі» Yi, . . ., Ffc), ад
Xk = ?к (Уь Yi, . . ., Yh).
Тогда на основании (3.21) вероятность того, что случайный вектор Y = (F1, F2, . . ., Ffc) попадает внутрь параллелепипеда
ІУи Уі+йуА, [у2, Vt +djfol..... [у*, у к +?],
(3.31)
определится равенством
ft (Уі> У*> • • •> Уh) dyi &У% . • -Ayh =
= / (xi, Xi, . . ., Xk) dx і dxг . . . dxk, (3.32)
где ft — плотность вероятности вектора Y, (хи хг, . . ., xh) и (уи уг, . . ., ук) связаны с помощью функций а dxi, dx2, ..., dxk также определяются этими функциями (когда заданы dyu dy%, . . ., dyh), но берутся со знаком плюс.
Подставляя в правую часть (3.32) выражения X1, ... . . ., Xk через ух, . . ., ук и используя якобиан для перехода к дифференциалам новых переменных, находим
/і (Уи Уъ •• м Ук) dyi dy2... dyk =
= / ISi (!Ti, Vu •.., Ук), Ct О/і, Уг, • •., Ун), • •; Zk (Уи Уг, • -Ун)] X
3 (Ж!,»«, . . ., Xk)
X
dyi dy2... dyK. (3.33)
Якобиан должен быть взят по абсолютной величине, так как все множители в обеих частях равенства (3.37) положительны.
Равенство (3.33) позволяет найти плотность вероятности случайного вектора Y, если заданы плотность вероятности случайного вектора X и взаимно однозначная зависимость XhY-136 случайный вектор ігл. s
§ 37. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин
Найдем математическое ожидание Y, если Y = X1 + + Xi и плотность вероятности / (хь Xi) произвольна. Воспользуемся для этого равенством (3.29):
OO OO
MY= 5 ydy 5 /(Z1, у — XjdX1 = —00 —00
OO OO OO OO
= 5 S (X1 + Xi) f (X1, Xi) dxz = 5 Xxdx1 § f(x1,xi)dxi+
—00 —00 OO OO
OO 00
+ § Ac1 § xif(x1,xi)dxi = MX1 + MXi. (3.34)
—00 —00
Таким образом, математическое ожидание суммы двух произвольных случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин.
Определим дисперсию Y, если X1 и X2 взаимно независимы:
OO
о* = 5 (У-Yfh(U)dU = —00
OO OO
= 5 (у-Yfdy 5 U(X1)U(у-X^dX1.
—OO —OO
Далее, меняя порядок интегрирования и используя (3.34), получаем
і• = $ h (X1) Jx1 $ Kx1 - X1) 4- (.га - Х2)\% (X2) вхг -— 00 —00
OO OO
= 5 (X1-ZifU(Xi)dXi 5 U(Xi)dXi +
—00 —OO
OO OO
+ 2 5 (X1-X1)U(X1)dxx 5 (X2- Xi)U(Xi) Axi +
—оо —оо
OO OO
+ I U(Xi) dxi $ (Xi-XiYji(Xi) dxi.І 37] математическое ожидание и дисперсия
137
Второе слагаемое справа равно нулю, поэтому
O3 = O21+ at, (3.35)
т. е. дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. По индукции получаем, что если
Y = X1 + X2 + . . . + Xn, (3.36)
то
F = X1 + J2 + ... +Xn. (3.37)
Если при этом Xi, X2, . . ., Xn взаимно независимы, то