Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
(3.6)
5 Т. А. Агекян 130
случайный вектор
ігл. s
т0 / (xlt Xi, . . , xh) называется дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности случайного вектора (3.2).
На основании (3.5) заключаем, что
] I ¦¦¦] /(Ix, St, • • •, S*)dSi<fc. • - dlk = 1, (3.7)
т. е. плотность вероятности нормирована.
Из равенства (3.6) для всех значений X1, Xi,..., Xjl следует, что вероятность попадания точки (X1, Xi, . . . . . ., Xk) в борелевское множество *) G fe-мерного пространства равна
l...lf(li,...,h)dh...dlk. (3.8)
G
Каково бы ни было G, вероятность (3.8) неотрицательна. Ив этого следует, что / (xlt Xi.....xh) есть неотрицательная функция. Если G является ^-мерным параллелепипедом с ребрами
Ix1, X1 + Ar1], Ixi, Xi + Axi], . . ., [zk, xh -f- (fcck] (3.9)
и подынтегральная функция непрерывна в точке (xlt Xi, . .., xh), то интеграл (3.8), как известно, с точностью до бесконечно малых высших порядков равен / (xlt Xi, . . ., xh) dx і dxi . . . dxh. Следовательно, последнее выражение равно вероятности того, что случайные величины (3.1) примут значения, заключенные соответственно, в промежутках (3.9):
/ (xlt . . , xh) dxi . . . dxh = P (X1 < X1 < X1 -f- dxi, . . .
. . ., xh < Xk < xh 4- dxk). (3.10)
В некоторых случаях удобно использовать обозначение
/ (хи . . ., xh) dxt .. . dxh = / (х) dx. (3.11)
Если для каких-то X1, . . ., Xi событие, состоящее в том, что случайные величины
_ X1, ...,X1 (i<k) (3.12)
*) То есть множество, получаемое из параллелепипедов с помощью счетного числа операций объединения и дополнения. i 36] понятие случайного вектора 131
примут значения соответственно меньше X1, Xit ... , Xt, не зависит от того, приняли ли случайные величины
Xt*і, • . ., Xk (3.13)
значения, меньшие соответственно ж<+1, ж<+2, .. ., хк, или нет, то согласно теореме умножения вероятностей
P (X1 <хи .. ., Xk < хк) =
=P (X1 < X1,..., Xt <xt) P (Х<+1 < Xi+i, . . . Хк<хк)
Таким образом, если случайные величины (3.12) независимы от случайных величин (3.13), то интегральная функция распределения F (xlt х%, . . ., хк) равна произведению двух функций, из которых одна зависит только от X1, Xi........ а вторая только от ®(+1, жі+а , . . ., xh,
F (xlt X2, ..., хк) = F1 (xlt xit ..., xt) F2 (хі+1, жі+2, ...,хк).
(3.14)
Первая из этих функций представляет собой интегральный закон распределения случайных величин (3.12), а вторая — случайных величин (3.13).
Справедливо и обратное утверждение. Если функцию F(XltXi,..., хк) можно представить в виде произведения двух функций (3.14), одной, — зависящей только от X1, Xi,..., Xt, — и другой, зависящей только от ®|+ь »f+s» • • •» хк, то случайные величины (3.12) не зависят от случайных величин (3.13). Если при этом постоянные коэффициенты выбрать так, чтобы
F1 ( + оо, + оо, . . ., + оо) и Fi (+ оо, + ос.....+оо)
были равны 1, то эти функции будут интегральными законами распределения случайных величин (3.12) и (3.13) соответственно.
Аналогичные рассуждения приводят к тем же утверждениям для плотности вероятности. Если случайные величины (3.12) не зависят от (3.13), то
/ («1, Xit . . ., хк) =
= /і (хи х2, . . ., Xi) /2 (хі+1, xt+2, . . ., хк). (3.15)
Если плотность распределения / (Z1, X2, . . ., хк) можно представить в виде произведения (3.15), то случайные 132
случайный вектор
(гл. 3
величины (3.12) независимы от случайных величин (3.13). При этом, если функции /, и /2 нормированы в смысле (3.7), то они соответственно являются плотностями вероятности случайных величин (3.12) и (3.13).
Функция F (xlt Xii . . ., xh) обладает еще таким свойством:
F (X1, Xi, . . ., xt, + оо, + оо, . . ., + оо) =
= F1 (а*, хг.....Xi), (3.16)
где F1 (X1, х2,. . ., Xi) есть интегральный закон распределения случайных величин (3.12). Аналогично,
(Ix1 dxt.. .dx{ § ^ ... § / (хъ х2,..., хк) dxiJrldxi+i.. .dxk=
= /і (®i. ..., Xi) dxi dx2... dx і, (3.17)
где fl (xlt X2, . . ., Xi) — плотность вероятности случайного вектора (X1, Xj, . . ., Xj).
В частности, для двух случайных величин X и Y имеем
со
U(X)= \f(x,y)dy. (3.18)
—OO
Пусть случайная величина Y является функцией случайной величины X
Y = г, (X). В этом случае, очевидно,
f(x, у) dx dy = b [у — ті (ж)] /(ж) dx = b [у — t) (x))f(y) dy,
т. е. / (ж, у) = О, если у Ф г) (ж), и / (ж, у) dx dy— = А (ж) dx = fа (у) dy, если у = rj (ж).
§ 36. Функция от случайного вектора Допустим, что величины
• • •» Ym
являются функциями от случайных величин (3.1): Ir1 = Tj1 (X1, Xj, . . ., Xh), Y2 =(T)J (X1iX2, ..., Xk), • • • • • ч ¦» т ~ Лт (X1, Xj, . . ., Xk) (3.19) s 361 функция от случайного вектора 133
и, следовательно, являются сами случайными величинами. Тогда случайный вектор
Y = (Y1, Yi, . . ., Fm) (3.20)
является функцией случайного вектора (3.2).
Если / (х) = f (хи хг, . . ., xk) есть плотность вероятности случайного вектора (3.2), то вероятность того, что случайный вектор (3.20) окажется внутри области G, равна
