Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 38

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 71 >> Следующая


о* = о! + а\ + . . . + о®. (3.38)

Задача 61. Найти плотность вероятности суммы двух независимых нормально распределенных случайных величин.

Решение. По условию плотности вероятности случайных величин X1 и X2 имеют вид

(X1-X10)* (*г-*2.0>*

1 202 1 2а2

ЬЮ-shr' 1 • AW-We ¦ •

Согласно (3.29) функция распределения величины Y = = X1 + X2 равна

(««-*!,р)' (ц—зс,—зс2 „у

^ / \ с і 2e? 1 г"?> j

Jjo S1 V 2it OaV 2я

Введем обозначения

У о = Xi,0 + о! = OrI + о«

и преобразуем показатель экспоненты:

(Si — -ту )•' [(у — у.) + (*i — gl,»)]a ._

rt *> я о

(y-y«)8 0I L V «? . Л* 138

случайный вектор

IVЛ. >

Вынося из-под знака интеграла множитель, не зависящий от X1 и вычисляя интеграл, получим

Таким образом, сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин есть также нормально распределенная случайная величина. Ее среднее и дисперсия равны суммам соответствующих характеристик этих случайных величин, что следовало из общих соотношений (3.34) и (3.35).

Применяя индукцию, можно доказать, что сумма любого числа независимых нормально распределенных случайных величин есть нормально распределенная случайная величина.

Справедлива также обратная теорема, доказанная в 1936 г. Крамером: если сумма конечного числа независимых случайных величин есть нормально распределенная случайная величина, то каждое из слагаемых является нормально распределенной случайной величиной.

Задача 62. Плотность вероятности для каждого из прямоугольных компонентов X, Y, Z скорости молекул есть нормальная функция со средним, равным нулю, и дисперсией, равной ог. Компоненты скорости по трем направлениям независимы друг от друга. Найти плотность вероятности модуля скорости молекул. Определить среднюю величину, среднюю величину квадрата и стандарт модуля скорости.

Решение. Согласно условию плотность вероятности компонента X скорости имеет вид

Таковы же распределения и компонентов FhZ. Так как эти три распределения взаимно независимы, то плотность вероятности вектора скорости равна произведению плотностей вероятности каждого из компонентов:

(і/-».)»

У 2а»

/ (х, у, z) = /о (ж) /о (У) /о (Z) = A^ 3 Є

. (3.39) І 37] математическое ожидание и дисперсия 139

Распределение (3.39) называется максвелловским распределением скоростей. Оно является сферическим распределением. Это означает, что в пространстве скоростей плотность вероятности в точках сферы

3? + у* + 2» = с2 (3.40)

произвольного радиуса с постоянна (как это видно из (3.39)). Общий вид сферического распределения таков:

/ (ж, у, z) = л (*s + У% + Z2). (3.41)

Модуль скорости р = У Хг + F2-I-Z2. Дополним эту случайную величину двумя — широтой в =

Z Y

= arctg ^f====- и азимутом <p = arctg j. Прямоугольные

координаты X, у и Z и сферические координаты р, 8, <р взаимно однозначно определяют друг друга. Согласно (3.32)

/(1) (р, 8, ф) dp dO d<p = / (X, у, z) dx dy dz =

г

1 -^(«Ч-і/Ч-*«)

(з у 2л;)8

е dxdydz.

Так как якобиан перехода от прямоугольных координат к сферическим равен р2 sin 8, получаем

р»

Zw (Р, 0, Ф) dp de гіф = {аущ3 е P2 sin 0 dP dQ dy. (3.42)

После интегрирования (3.42) по всем возможным значениям 8 и ф определится плотность вероятности модуля скорости

2« к _ _?*

/i(P) = $$/(1)(рЛф)^Ф = -Д=Р2е 2". (3.43) 0 0

Найдем математическое ожидание р:

P = ^p/i (p)dp = 2j/|e (3.44) 140

случайный вектор

IVл. >

и математическое ожидание рг:

90

P2= S P2A(P)^P = Зз2. (3.45)

о

Последнее равенство позволяет выразить /х (р) через среднее квадратическое модуля скорости:

_ SPf

/і(р)= 3/6 _JI_ * 3 46

Дисперсия р находится по формуле (2.68),

4 = P2- (P)2 = (з-Ija2S= 0,454з2, (3.47)

так что стандарт — среднее квадратическое отклонение модуля скорости от своего среднего значения — равен

бр = j/з - a S 0,674з. (3.48)

Задача 63. Найти плотность вероятности видимой величины к-й по яркости звезды.

Решение. Для того чтобы найти плотность вероятности видимой величины второй по яркости звезды, найдем сначала, применяя теорему умножения вероятностей, вероятность того, что видимая величина ярчайшей звезды находится в промежутке [тпи Tn1 + d/rej, в промежутке [і»і, тп] звезд нет, а в промежутке [тп., тп + dm] звезда есть [см. задачу 48]:

e-mm) N'(mi) dmte-1Л'о»Н»<».>] N' (т) dm -

= е-лгоп) N' (т) dm N' (да,) dm,.

Проинтегрировав это выражение по Tn1 от 0 до т, получим искомую плотность вероятности

и (ТП) = N (ти) TV" (т).

Применяя индукцию, найдем также плотность вероятности видимой величины к-й по яркости звезды: І 37] математическое ожидание и дисперсия

141

Задача 64. Плотность вероятности каждого из прямоугольных компонентов X, Y и Z скорости звезд есть нормальная функция со средним, равным нулю, и дисперсиями, соответственно равными о?, о^ и Оз. Найти плотность вероятности вектора скорости звезды.

Решение. Отличие этой задачи от задачи 62 заключается только в том, что дисперсии компонентов скоростей по трем направлениям различны. Находим
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed