Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 13. І 37] математическое ожидание и дисперсия
145
Найдем зависимость между т|, $ и І. Уравнение касательной к эллипсу имеет вид
у = Xtgi+ У Ъ-t IgH.
Находя расстояние этой касательной от начала координат, получаем
/т
+ tga< ' откуда находим
sin2і = . (3.60)
Рассмотрим два взаимно однозначно определяющих друг друга случайных вектора (§, ц) и (|, і). Так как 1 и г взаимно независимы, на основании (3.32) находим
g (?, Л) dl dri = gl (І, і) dl di = Ш dl cos і di. (3.G1) Используя (3.60), получаем
'«¦«-»»(.-?„-<,• (3-62)
Интегрируя (3.62) по і (і т]), приходим к искомому соотношению
/W-H (3-63)
Это интегральное уравнение относительно функции распределения истинных квадратов сферичностей галактик принадлежит к типу Абеля и разрешается. Однако удобнее использовать решение в моментах. Помножим обе части (3.63) на ті" и проинтегрируем по всем значениям ц, т. е. от 0 до 1:
if = 4-( Ifdr11 , dt =
2 і Yi-I bJ Yч-l ' 146
случайный вектор
ірл. s
Вычисляя интеграл и используя выражения для моментов случайных величин, получаем
i^= S C*WTi S (-1)"4^- (3.64)
ii=o ' i=0
Для п = 1 и п = 2 равенство (3.64) принимает вид
4 = 4 + 41, (3.65)
+ + (З-66)
откуда получаем
"S = TtI-T' (3.67)
I5 = T^-TiJ-T- (3-68)
Находим также дисперсию
<4 = V - (I)2 = T W - T • (3.69)
Рассматривая скоплевие галактик как статистический коллектив, измеряя в нем видимые сферичности галактик и вычисляя т| и т)а, найдем затем при помощи равенств (3.67) и (3.69) среднюю величину и дисперсию квадратов истинных сферичностей.
З а д а ч а 68. Определить в скоплении галактик функцию распределения угла между видимым направлением от галактики на центр скопления и видимым направлением большой оси галактики. Рассмотреть два предположения: 1) все ориентации плоскости симметрии галактик равновероятны; 2) все плоскости симметрии галактик проходят через центр скопления.
Решение. Направление видимой большой оси галактики есть направление прямой, по которой плоскость симметрии галактики пересекает картинную плоскость (плоскость, перпендикулярную к лучу зрения). Если выполняется предположение 1), то все ориентации видимой большой оси на картинной плоскости равновероятны и плотность вероятности острого угла между направле- І 37] математическое ожидание и дисперсия 147
нием на центр скопления и большой осью галактики дается равенством
(3.70)
Пусть теперь выполняется предположение 2). Рассмотрим рис. 14, на котором центр сферы Q совпадает с центром скопления галактик. Сфера проведена через галактику, находящуюся в точке В. Наблюдатель смотрит в направлении АО, угол между лучом зрения и направлением из центра скопления на галактику равен І. Картинная плоскость проходит через центр скопления перпендикулярно к лучу зрения. Большие круги, образуемые пересечением сферы с плоскостью AOB и картинной плоскостью, пересекаются
в точке D. В этой точке картинной плоскости наблюдатель видит галактику В. Проходящую через центр скопления плоскость симметрии галактики пересекает картинную плоскость по прямой ОС. Направление ОС есть направление видимой большой оси галактики и, следовательно, интересующий нас угол ? есть угол COD. Из сферического треугольника BCD находим
Рис. 14.
tg?
(3.71)
Угол X есть случайная величина с плотностью вероятности
г_
п '
Ш)
(3.72)
Рассмотрим зависимость между функциями распределения случайных векторов (?, І) и (х, і):
g (?, і) d? di = gi (x, i) dx di = — dx sin і di. (3.73) 148
случайный вектор
ігл. s
Заменяя при помощи (3.71) dx в (3.73) и выполняя интегрирование по і, находим
я/а
, .,V _ 2 1 С cos і sin і di ___2 In sin ? •чік
л Cos2? J cos2 і + tg2 ? — я cos® ? ' ^ ' о
Для того чтобы выяснить, какое из предположений 1) и 2) имеет место в скоплениях галактик, нужно сравнивать распределения (3.70) и (3.74) с наблюдаемым распределением. Это часто бывает весьма неудобно, в особенности, если число галактик в скоплении не очень велико.
Есть другая возможность — сравнивать моменты теоретических распределений с моментами наблюденного распределения в статистическом коллективе. Можно также сравнивать математические ожидания (для каждого распределения) какой-нибудь удачно подобранной функции.
Заметим, что в нашей задаче в случае предположения 2) углы ? должны ожидаться в среднем меньшими, чем при предположении 1). Поэтому можно рассматривать, например, математическое ожидание cos2 ?, тем более, что оно просто находится.
В предположении 1)
2"
cos^? = ^cos2 ?-§-d? = 0,5. о
В предположении 2)
2я
- Ccos2 ?A1111?d? = In2^0,693.
г J г я cos-?
о
В зависимости от того, какое из чисел, 0,5 и 0,693, окажется ближе к найденному из наблюдений,
п
1
COSi
>s3 P = -TT 2 eos«?it
t=i
можно судить о предпочтительности гипотез 1) или 2). неравенство шварца
149
§ 38. Математическое ожидание функции от случайного вектора
Если f (Xi, X2, . . ., X„) есть плотность вероятности случайного вектора (X1, Xa, . . ., Xn), а г) (X1, X2, . . . . . ., Х„) — некоторая функция от этого случайного вектора, то величина
