Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
6« 164
случайный вектор
ігл. s
областях с высокой прозрачностью и малой подвижностью воздуха, чтобы мало сказывались колебания атмоферы, и т. д. В результате таких мер случайная ошибка будет уменьшаться. Однако полностью устранить случайные ошибки невозможно.
Случайная ошибка слагается из суммы большого числа случайных величин — ошибок, вызываемых различными трудно исследуемыми причинами. Эти случайные величины сравнимы по величине в смысле выполнения условия (3.114) теоремы Ляпунова; среди них нет доминирующих. Иначе доминирующие над другими слагаемые — ошибки—выделялись бы, вызывающие их причины могли бы быть подвергнуты исследованию и влияние этих причин устранено. Доминирующую ошибку можно исследовать как систематическую и вносить соответствующую поправку.
Часто можно предполагать, что распределения случайных величин, из которых слагается случайная ошибка, мало отличаются от нормальных распределений. Поэтому на основании результатов, сформулированных в § 44 относительно суммирования случайных величин, можно утверждать, что распределение случайной ошибки должно быть очень близко к нормальному. В теории ошибок это принимается за постулат, случайная ошибка измерений считается нормально распределенной случайной величиной.
Математическое ожидание случайной ошибки должно быть равно нулю. Бели математическое ожидание ошибки отлично от нуля, это означает, что наряду со случайной ошибкой она содержит и систематическую ошибку.
Таким образом, плотность вероятности случайной ошибки имеет вид
Так как
МЬ% = а2, (3.118)
то стандарт распределения, о, имеет смысл средней квад-ратической ошибки.
На основании (3.117) и (3.116) плотность вероятности случайной величины — результата измерения — имеет случайная величина
165
вид
/ (X) = —р= g-ix-xtf 2-, (3.119)
где X0 — истинное значение измеряемой величины, о—средняя квадратическая случайная ошибка измерения.
§ 46. Случайная величина х«
Пусть X1, X2, . . ., Xn — взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с Xi = О HOi=I (i=l, 2, . . ., п). Рассмотрим сумму их квадратов
п
KJ=Ilxl1 (3.120)
1-і
которая тоже есть случайная величина, и найдем ее плотность вероятности. Согласно общему правилу
P(z<ti<z + dz) =
п
-S-S Ш'-'^*-*- (3-Ш) " 2
Z < S *і < г + rf2 і«=1
Так как интегрирование в га-мерном пространстве выпол-
п
няется в области, где 2 xi постоянна, равна z, то под-
1-1
интегральный, множитель можно вынести за знак интеграла:
= (2п)-**е~1!* Jj... JJ dx!...dxn, (3.122)
п
г <S *{<2 + Ае i=l
Интеграл в правой части (3.122) равен объему области n-мерного пространства, в которой выполняется условие
п
z<2*i<z+dz- (3-123)
i=l 166
случайный вектор
ігл. s
Чтобы определить этот объем, рассмотрим равенства
п
S a? = z, (3.124)
i=l п
2 Xi = z +dz, (3.125)
і—1
являющиеся уравнениями концентрических с центром в точке (0, 0, .. ., 0) гиперсфер в «-мерном пространстве. Радиус гиперсферы (3.124) равен Yz, а радиус с гиперсферы (3.125) равен Yz + dz = Yz + -4—т=- • Если га-мер-
i Yz
ный вектор (х і» Xji • • •» х„) попадает в область п-мерного пространства, заключенную между гиперсферами (3.124) и (3.125), то условие (3.123) будет удовлетворено, в противном случае условие (3.123) удовлетворено не будет. Следовательно, интеграл в правой части (3.122) равен объему, заключенному между концентрическими гиперсферами (3.124) и (3.125). Объем гиперсферы п-го порядка пропорционален п-й степени ее радиуса. Например, объем трехмерной сферы пропорционален кубу радиуса. А объем области, заключенной между двумя концентрическими гиперсферами, если разность их радиусов бесконечно мала, пропорционален (п — 1)-й степени радиуса, помноженной на толщину слоя между гиперсферами, т. е. на разность радиусов гиперсфер. Таким образом, искомый "-і dz
объем равен CZ 2 —тг=- и, следовательно, У 2
П _ 1
P(z<&<z + dz)= C1Z* ге a2 dz. (3.126)
Xn может принимать значения от 0 до +оо. Выполняя нормировку, получим окончательное выражение для плотности вероятности случайной величины X2:
/ (Z)--7-pr (Z)n^e' T *, (3.127)
OO
где Г (a) = S Р^егШ — интеграл Эйлера второго рода, о s 47] обобщенная теорема муавра — лапласа
167
§ 47. Обобщенная теорема Муавра — Лапласа
Возвратимся к теореме Муавра — Лапласа (§ 30). В ней рассматривалась полная система событий
А, Ж, (3.128)
и было доказано, что случайная величина
где р — вероятность события A1 m — число появлений события А при п испытаниях, имеет асимптотическое распределение
/W = TWr^ (3-129)
если п -> OO и /UB8 -*- 0. При этом
3»= P(I-P) г (3130)
В системе событий (3.128) события А и A равноправны, но в распределении (3.129) фигурирует только X — отклонение относительной частоты события А от наиве-роятнейшего значения. В этом смысле распределение (3.125) не симметрично относительно событий А и A. Чтобы устранить эту особенность, введем симметричные обозначения: рх и Hti для вероятности и частоты события А и соответственно Pi и Ht2 — для события Л. Очевидно, что Pi + P2= 1, Ht1 + Itt2 = n, Ht1 — Tipl= — (от2 — пр9),
