Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
г<Утг\-
Поэтому для имеем плотность вероятности распределение хольцмарка
157
Для
плотность вероятности
/(*> = Mrtdr = IOir- (З-104)
о
Из физических соображений очевидно, что X равно нулю. Это следует и из того, что X принимает значения в промежутке [—оо, оо], а его плотность вероятности — функция четная. Но центральный момент второго порядка, как это следует из (3.103), равен оо, дисперсия X не существует. Поэтому результаты § 41 к рассматриваемой задаче неприложимы. Нельзя утверждать, что при о -*¦ оо и числе звезд поля
n = -Inrljv (3.105)
(v — среднее число звезд поля в единице объема), также
п
стремящемся к оо, Z = 2 Xi имеет асимптотически нор-
i=l
мальное распределение.
Для решения задачи рассмотрим полученное в § 41 выражение (3.95) для плотности вероятности:
OO OO
и (Z)=U e~Uzdt [ UeUxl <*> dxJ • (3-95>
—00 —OO
Значение внутреннего интеграла в (3.95) можно найти, используя плотность вероятности, задаваемую выражениями (3.103) и (3.104). Его можно получить также, заметив, что математическое ожидание
OO
Meitx = J eitxf(x)dx (3.106)
—OO
можно вычислить, используя определение (3.100) случайной величины X как функции случайного вектора (г, <р). 158
случайный вектор
IVл. >
Поэтому, используя также (3.101), находим
г0 я
[ 5 е"*/ (*) dxJ = ? JeWI^-'co^JL Г2 dr sin ф йф]" =
—зо 0 0 0
c-1v/.
= R S ^[тттпгСе^'— - =
о
c-VmV.
$ 'Tlfe-jM-
о
OO
а
где а S 111 пс' т-'/', с = nv.
Применив в полученном выражении формулу интегрирования по частям, находим
OO
Iim [ J е«*/ (®) dxj = lim {|ї. (111 x)V« CrjA sin a +
oo
oo
4 8 8 I* Ii^
+ -^g-cr*'1 cosa — -jg-a-v«sina — yl/> cos у dy I =
a
- + ОМ]"= Г^«4^.
Поэтому согласно (3.95) находим плотность вероятности случайной величины Z — проекции на произвольное заданное направление силы, прилагаемой бесконечным звездным полем к контрольной эвезде:
OO
к (г) = \ e-»*<r°w4'dt, (3.107)
—oo
где
а = (nx)«/.v. (3.108)
Если для еш использовать формулу Эйлера, то ввиду четности относительно t второго множителя под знаком интеграла интеграл от мнимой части равен нулю и можно распределение хольцмарка
159
окончательно написать
OO
Z1 (z) = -L J cos(tz) er«''dt. (3.109)
о
Все направления силы, прилагаемой бесконечным звездным полем к контрольной звезде, равновероятны. Выражение (3.109) определяет плотность вероятности проекции этой силы на произвольное направление. Поэтому согласно задаче 65 плотность вероятности для модуля силы р определится равенством
/2(р) = -2р/;(р), (злю)
т. е.
оо
/, (P) = AJ рt sin (fp) <r«V'dt. (3.111)
о
Распределение (3.111) называется распределением Хольцмарка. Пусть и = ра-*'. Введем также новую переменную интегрирования t' = pf, но затем штрих отбросим. Равенство (3.111) примет вид
OO
/2 (P) = a-1/. t sin te-w^dt. (3.112)
о
OO
Значения функции H (и) =-Jjj-^ t sin приведены
о
в таблице 3.
Таблица 3
U H(U) U H(u) j U H(U)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 0,000000 0,016666 0,063084 0,129598 0,203270 0,271322 0,324020 1.4 1,6 1,8 2,0 2.5 3,0 5,0 0,35620 0,36726 0,36004 0,33918 0,25667 0,17600 0,04310 868855 OOOOOO 0,00556 0,00188 0,00089 0,00031 0,00015 0,00009 160
случайный вектор
IVл. >
Таблица показывает, что очень малые и очень большие модули силы маловероятны. Наибольшее значение плотность вероятности имеет около значения р, равного 1,6.
so
Интеграл J р/2 (р) dp сходится, следовательно, мате-о
матическое ожидание модуля силы существует. Но инте-
oo
грал § р8/з (р) ^p расходится, поэтому дисперсия модуля о
силы бесконечна. Это вызвано тем, что, как показывает таблица 3, при больших значениях и (и следовательно, р) плотность вероятности убывает медленно.
§ 44. Центральная предельная теорема
В задаче 61 было доказапо, что сумма любого числа нормально распределенных случайных величин есть нормально распределенная случайная величина. В § 42 установлено, что сумма п одинаково распределенных случайных величин при п -*• оо имеет асимптотически нормальное распределение.
Центральная предельная теорема обобщает этот результат. В ее условии не требуется, чтобы слагаемые случайные величины были одинаково распределены. Распределения слагаемых случайных величин могут быть произвольными, если не считать некоторого условия, которое обеспечивает, чтобы при п -»- оо никакая ограниченная группа слагаемых не доминировала в общей сумме.
Центральная предельная теорема, доказанная А. М. Ляпуновым, формулируется так (мы ее приводим без доказательства). Пусть
Z = X1+ X2+...+Xn (3.113)
— сумма независимых случайных величин, имеющих математические ожидания MXi = а |, дисперсии M (Xi — а і)2 = о®, а абсолютные центральные моменты
п
третьего порядка М\ Xi — at I3 = уt- Величины а = 2 af
i—i i 45] функция распределения случайных ошибок 161 п
зг = 2 бі соответственно равны математическому ожида-і=1
нию и дисперсии Z. Тогда, если выполняется условие
