Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
п
1 Vl
ет, что если положить в (3.91) a = -%-dz, а X0 = z —
Ic=I
то равенство (3.90) можно написать в виде
/ 1 \ п . ? sin [-Ttdz) - " (г- 2
h(z)dz = ±- \ —Ц-Ldt S--Je « X
—OO —OO —00
X /(X1,... ,XjdX1... dxn, (3.93)
где интегрирование распространено уже на все п-мерное пространство.
Так как dz бесконечно мало, то
OO « {/ 2
п
Xu
Ш = Ie^uzdt I X
-oo —oo
X / (а-ц ..., т„) dx1... dxn. (3.94)
Равенство (3.94) дает общее решение задачи суммирования случайных величин. Оно показывает, что
п
? f «У **
) ... } е k=1 f(x 1,..., TjdTi • • • dxn
—OO —OO
является характеристической функцией для Z1 (z).
Если все случайные величины (3.88) взаимно независимы и одинаково распределены, то равенство (3.94) принимает вид
OO OO
/i(z) = "4" 5 e~ilzdtl 5 eitxf(x)dxJ. (3.95)
—OO —OO
Равенство (3.95) можно было бы написать сразу, используя свойства характеристической функции. 154
случайный вектор
ігл. s
§ 42. Случай, когда сумма одинаково распределенных взаимно независимых сучайных величин при n-»xi имеет математическое ожидание и дисперсию
Пусть
Zn = X1+ X2+... + Xn, (3.96)
где Xu Xa, ..., Xn — независимые случайные величины с одинаковым распределением с плотностью / (х). Пусть п -*- оо. Так как согласно (3.96)
Zn = пХ,
oln = па\, (3.97)
то для того, чтобы существовали Iim 1Zn = Z и Iim Ozn = о!» необходимо не только существование X и ах, но при п-*- оо должны выполняться соотношения X -*¦ О, Ox -*• 0, как n~l'Const.
Допустим, что Z и Oz существуют. Тогда можно написать (0 < 6 < 1):
oo
Iim [ J e»*f(x) dx]* = lim [м (і + itX - -і- (Wi)]" =
—OO
= lim [м (і + і-^пХ - ——п(Х2 - Xі) -
-Ilm[і +i±Z--L^ + o{^)]n = e^k (3.98)
Выражение в правой части (3.98) является характеристической функцией для fx (z). Сравнение ее с решением (2.106) эадачи 52 показывает, что функция fx (z) является нормальной функцией с математическим ожиданием и дисперсией, определяемыми равенствами (3.97).
Итак, если существуют Iim пХ и Iim а^, сумма п одина-
71—»ОС П—ЮО
ково распределенных взаимно независимых случайных величин при п оо имеет асимптотически нормальное распределение. распределение хольцмарка
155
§ 43. Распределение Хольцмарка
Пусть частицы некоторой природы равномерно заполняют бесконечное пространство. Допустим также, что каждая частица отталкивает (притягивает) некоторую контрольную частицу с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния
(3-99)
На контрольную частицу действуют силы отталкивания (притяжения) всей совокупности частиц, заполняющих бесконечное пространство. Так как частицы не располагаются строго симметрично по отношению к контрольной частице и равномерность их распределения в пространстве означает лишь, что математическое ожидание числа частиц в объеме V пропорционально величине этого объема и не зависит от его формы и места расположения в пространстве, то суммарная сила отталкивания (притяжения) в общем случае нулю не равна. Она принимает различную величину и имеет различные направления в зависимости от случайных флуктуаций в распределении частиц. Поэтому вектор суммарной силы является случайным. Найдем его распределение.
Рассматриваемая задача была впервые решена Хольц-марком для газа, состоящего из положительно заряженных ионов. На контрольную положительно заряженную частицу при этом действует кулонова сила отталкивания (3.99) для каждого иона, где х равно помноженному на постоянную кулона произведению электрических зарядов иона и частицы.
Ту же самую задачу для сил притяжения представляет бесконечно протяженное звездное поле. Звезды в нем распределены равномерно. На контрольную звезду действует ньютоновская сила (3.99), где х равна произведению масс контрольной звезды и звезды поля на постоянную тяготения. Нужно определить случайный вектор — вектор силы тяготения, прилагаемый всем бесконечным полем к контрольной звезде.
Для простоты будем считать, что массы всех звезд поля одинаковы. Определим сначала плотность вероятности случайной величины — проекции вектора результирую- 156
случайный вектор
IVл. >
щей силы на произвольное заданное направление. Эта случайная величина равна алгебраической сумме случайных величин X — проекций векторов сил притяжения отдельных 8везд на заданное направление. Каждая из X дается равенством
X=^cos9, (3.100)
где ф — угол между заданным направлением и направлением на звезду.
Допустим, временно, что звездное поле ограничивается сферой радиуса г0. Бесконечное поле будет построено, если положить гQ -> оо. Так как все положения отдельной звезды поля внутри сферы равновероятны, то функция распределения г определяется равенством
Jo(r) = ~r2. (3.101)
го
Используя (3.100), можно написать
3 1
g(x, r)dxdr = gi(cp, r)dydr = — r2 dr • — sin <pdy =
ro
=-L-^drdx. (3.102)
2 rjjx
Чтобы получить / (ж), необходимо (3.102) проинтегрировать по всем значениям г. Нужно при этом иметь в виду, что должно выполняться условие г <| г0, и в то же время, согласно (3.100),
