Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
OO OO оо
Mil(X1, Xs,..., Xn)= 5 S ••• S 1I (-rI, xU • • •» хп) X
X f(x!, х2,..., xn)dxidx2... dxn (3.75)
называется математическим ожиданием г| (Xi, X2,.. ., Xn).
Аналогично тому, как это было сделано для случайной величины в § 20, легко доказать, что математическое ожидание суммы функций случайного вектора равно сумме математических ожиданий этих функций, т. е.
M Irh (X1, X2, . . ., Xn) + т)2 (X1, X2, . . ., Xn)] = = Mrll (X1, X2, . . ., Xn) + Мц2 (X1, X2.....Xn).
(3.76)
Точно так же очевидно, что
M [сг) (X1, X2, . . ., Xn)] = сМг\ (X1, X2, . . ., Xn).
(3.77)
Если X1 и X2 взаимно независимы, то
oo oo
M [Ti1 (X1) % (X2)] = I 5 tIi ^2 (хг) /і (хі) /г (хг) dxt dx2 =
- Mи, (X1) Mr1, (X2). (3.78)
§ 39. Неравенство Шварца Докажем неравенство
IM (XtX2)P < M (Х\)М (X?), (3.79)
называемое неравенством Шварца *).
*) Неравенство Шварца есть не что иное, как известное неравенство Коши — Буняковского, если Xi рассматривать как элементы гильбертова пространства со скалярный произведением (JTj, X1) = AfXtXt. 150
случайный вектор
IVл. >
Допустим сначала, что MX? = 0. Это означает, что X1 с вероятностью 1 принимает значение 0. Тогда и X1Xa с вероятностью 1 принимает значение 0 и, следовательно, M (X1X2) = 0. Таким образом, в рассмотренном частном случае неравенство (3.79) справедливо.
Рассмотрим теперь общий случай MX12 > 0. Каково бы ни было произвольное число х, справедливо неравенство
M (X2 - XX1)2 > 0,
т. е.
MX? - 2хМ (X1X2) + x2MX1 > 0. (3.80)
Поскольку (3.80) справедливо при любом х, положим в нем
.. M(X1X2) --
что возможно, так как MX1 > 0, и после приведения подобных членов получим требуемое неравенство (3.79).
§ 40. Характеристическая функция суммы случайных величии
Рассмотрим характеристическую функцию суммы двух независимых случайных величин Y = X1 -f X2. Тогда на основании (3.78)
M eitY = Meiu-x^ = M {еих>е»х*) = Melt^Meiix', (3.81)
т. е. характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению характеристических функций этих случайных величин.
Этот результат находит важное практическое применение в том случае, когда наблюдения дают функцию распределения суммы двух независимых случайных величин и функцию распределения одной из них, а требуется определить функцию распределения второй случайной величины.
Задача 69. Видимая величина ю, абсолютная величина 5ГО и модуль расстояния звезды
р = 5 Ig г — 5,
(3.82) i 40] характеристическая функция суммы величин 151
где г — расстояние до звезды, связаны соотношением
m = SR + р. (3.83)
Функции распределения случайных величин ю и SK известны. Найти функцию распределения р.
Решение. Видимая величина ю звезды зависит от ее абсолютной величины и модуля расстояния. Но абсолютная величина, определяющая мощность излучения звезды, и модуль расстояния, определяющий расстояние звезды, взаимно независимые случайные величины. Функцию распределения <р (M) (функция светимости) можно для окрестностей Солнца считать известной, функция распределения звезд по видимым величинам А (то) (функция блеска) в данном направлении определяется из наблюдений. Обычно требуется найти функцию распределения г|) (р) в данном направлении, что определит распределение звезд в этом направлении по расстояниям. Характеристические функции
oo
Фт (<) = 5 eUmA(m)drn,
—OO OO
Фщ (t) = Jj e^(f>(M)dM, (3.84)
—OO OO
Фр(0 = 5 е"РгЖФ
—OO
на основании (3.81) и (3.79) связаны соотношением
Фт(<) = Ф*(0<М<)- (3.85)
Находя из (3.85) Фр (t) и возвращаясь при помощи обратного преобразования Фурье к функции г|> (р), получаем
*<р> = 4г I^t ^mdt- (3-8?)
-ОС
Равенство (3.86) вместе с первыми двумя равенствами (3.84) дает решение задачи. На практике полученное решение нельзя использовать, так как функция блеска из наблюдений определяется не на всем бесконечном интерва- 152
случайный вектор
ігл. s
ле, а до некоторой, предельной для телескопов, видимой величины TO1.
После того как найдено (р), функция распределения по расстояниям определяется из соотношения, выводимого при помощи (3.82):
/ (г) dr = г|> (р) do = (5 Ig г - 5) ~ In 10 dr. (3.87)
§ 41. Суммирование большого числа случайных величин. Метод А. А. Маркова
Пусть
(X1, X2, . . ., Xn) (3.88)
— случайный вектор. Рассмотрим случайную величину, равную сумме компонентов этого случайного вектора:
п
Z = 2 Xk. (3.89)
It=I
Требуется найти распределение Z, если плотность вероятности /(X1, X2,..., хп) случайного вектора задана. Согласно общему правилу
fi(z)dz = P (z--Ldz<Z <z + -Ldz) =
= \f (X1, ...,X^dX1...dxn, (3.90) Q
где интегрирование распространено на область Q в n-мерном пространстве, удовлетворяющую условию
п
Z--Ldz < 2 ^<z+ "Tdz- (3'91)
к—1
Используем рассмотренное в § 28 интегральное выражение
-L Jiilfi e-btfdf, (3.92) суммирование случайных величин 153
равное 1, если I х0 I Ca и равное 0 в противоположном случае. Из свойств интегрального выражения (3.92) следу-
