Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(s (р) - А (р) f - (s0 (р) +S(p) - ]х)2 + S20 (р) S02 (р) = 0 (р= {s (р),р\ ).
Наряду с функцией G(х — х') (24.6), (24.7) имеет смысл ввести функцию
G(X-X1) = -L (Г(ф/ (jf) ф/ (XOlo+Io+)) S
Г Iq
= (А/| r(^'(x)f (х'))| А/+2). (24.13)
Произведя в последнем выражении G(x — х') разложение по промежуточным состояниям, как это было сделано выше для функции 0(х — х'). найдем для компоненты Фурье О (р) выражение, аналогичное (24.12):
G (/0=(2*)3 2 WiWb2 X
т
v HP-Pm)___HP+Pm)
Х . И - (Е,п - eN+ю) + г'8 w + (ЕШ - Ек + ю) - Я . "
(24.14)
Функция О (/>) имеет, таким образом, полюсы (и обходы в этих полюсах), совпадающие с полюсами для функций G (р) и G' (р). Что же касается коэффициентов — вычетов в этих полюсах, то в функции G'(р) они вещественны, тогда как вычеты в одинаковых полюсах G (р) и О (р) комплексно сопряжены друг с другом.
Графически функция 0(х — х') представляется линией с двумя стрелками, направленными навстречу друг другу.
Уравнения, связывающие G(x-x') с обычной функцией Грина, схематически изображены на рис. 69. В этих уравнениях фигурирует функция Грина G' (х'—х), изображенная с обратным направлением стрелок. В компонентах Фурье § 24] функция Грина 285
всех величин уравнения рис. 69 запишутся следующим образом:
G (р) = G(u) (р) I11 (р) G (р) + G<0) (р) I20 (р) О' (- р),
G' (- р) = G(0) (- р) +- G0 (- р) [I11 (_ р) G' (- р) +
+ 1 MO(P)].
Разрешая эти уравнения для G (р), найдем:
А . . __^20 (P)_
U(P)— (<0 - A (P) у - (е0 (P) + S(P)- + S20 (P) S02 (р) ¦
(24.15)
Выражения (24.5) и (24.15) для G(p) и G (р) отличаются друг от друга заменой в числителе I20 (р) на I02 (р).
Рис. 69.
3. Поведение функций Грина при малых импульсах.
В заключение настоящего параграфа сделаем несколько замечаний общего характера относительно полученных результатов. По причине пространственной однородности все величины зависят от абсолютной величины вектора р. Как видно из (24.12) и (»24.14), функции G(p) и G(p) есть четные функции частоты м. Легко видеть отсюда, что I20(р) = = I02(P). Действительно, поскольку гамильтониан взаимодействия сохраняет полное число частиц, то он симметричен по операторам ф и ф + . Поэтому любому графику для I20 можно сопоставить точно такой же график для I02, .получающийся заменой всех входящих линий в графике I20 на исходящие, и наоборот; соответственно ,этому меняется на обратное направление обхода всех внутренних линий. Однако направление обхода всех внутренних линий можно изменить, заменяя в матричном элементе для данного графика I20(р). 286 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
значение р на — р. Поскольку из (24.15) T20 есть четная функция, то
I20(P) = Im(P) и G(P)=O(P).
Рассмотрим уравнение, определяющее полюсы функций Грина:
(ш — А (р) )2 - (s0 (р) +S(p) - JX)2 + Il2 (р) = 0. (24.16)
Из физических соображений ясно, что это уравнение должно иметь решения при сколь угодно малых (о и р. В самом деле, среди возможных решений для спектра энергии возбуждений при малых р должен содержаться звуковой спектр <й = с\р\, т. е. спектр, соответствующий колебаниям плотности с большой длиной волны. Положим поэтому в уравнении (24.16) (о и р равными нулю. В результате мы получаем условие, связывающее химический потенциал [х с величинами S11(O), S20(O) и S02 (0):
Ox-S11 (О))2 = Sg2(O).
Как будет видно из результатов следующего параграфа, из двух корней этого уравнения надо выбрать
!X = S11(O)-S02(O). (24.17)
С целью получить вид функций Грина в окрестности малых о» и р произведем разложение в знаменателях (24.4), (24.5) и (24.15), ограничиваясь всюду членами второго порядка по (о и р. С помощью (24.17) найдем:
S11(O)-Ii S20(O)
в («г — с2 Ipi2) в(ш2 —C2Ipi2) '
J (24.18)
О'(р):
O(P) = G(P),
где
В (W2-C2I P I2)
<И„(0)у ^2S11(O) v , 1 O2 у2
1--TiZ-)--Twi—^20(0) + -0-70-^20(0),
0(Й ) 0ш2 20 W -Г 2 дш2
01,,(0) O?2
M
»^адіі-гщг-і-рс
Величина с есть, очевидно, скорость звука. Как и должно быть, она обращается в нуль, если S20(O) равно нулю, поскольку для идеального бозе-газа скорость звука равна нулю. § 25] РАЗРЕЖЁННЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ Б03Е-ГАЗ 287
Сравнивая результаты (24.18) с общими разложениями функций Грина (24.10), (24.12) и (24.14), находим, что отношение ^20Jвещественно и положительно. Таким образом, при малых (о и р (ш ~ср) вид всех функций Грина О'(р), О (р), О (р) совпадает:
O(P) = Ittpi- (24'19)
§ 25. Разреженный неидеальный бозе-газ
1. Диаграммная техника. Для иллюстрации изложенных методов займемся теперь более подробно тем частным случаем, когда взаимодействие между частицами сводится к парным силам (Беляев [40]). Гамильтониан взаимодействия равен
= І J j V (r')U {r-r')^(r')^{r)drdr'. (25.1)
Выделим в Hint в явном виде операторы конденсатных частиц Jo и Jo" согласно (23.1). В результате получим восемь1 различных слагаемых в сумме, через которую можно представить гамильтониан Hint:
Ha = і j f Y+ (Г) Y+ (r') U (Г — Ґ) Y (ГО Y (г)dr dr'> H6 = у V(Jo+)2 Jot/ U(R)dR,
