Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
среднее K(So-S0)1 которое представляет собой точное число частиц, имеющих импульс, равный нулю. В идеальном газе это число при 7=0 попросту равно полному числу частиц N — все частицы находятся на уровне с р = 0. Взаимодействие между частицами (отталкивательное на достаточно малых расстояниях — притяжение всюду сделало бы систему неустойчивой) приводит к уменьшению числа частиц с импульсом р = 0. При этом, однако, как уже подчеркивалось в гл. I, конденсат не исчезает, т. е. среднее число частиц с нулевым импульсом остается сколь угодно большим для сколь угодно большого полного числа частиц в системе (плотность га0 числа частиц в конденсате остается конечной при любом взаимодействии частиц между собой, если V—> оо). Физически этот факт довольно очевиден, но логически нельзя исключить, конечно, возможности, что для некоторого взаимодействия й0 обращается в нуль. Мы не будем здесь заниматься доказательством нашего утверждения, тем более, что единственным физическим объектом в данном случае является гелий. Читатель найдет это доказательство в работе Беляева [39].
Изменение полного числа частиц, находящихся в конденсате, в результате взаимодействия и есть та причина, по которой нельзя было выше считать просто числом свободные операторы So и Ц.
Построенный ряд теории возмущений надконденсатных функций Грина содержит средние от точных гайзенберговских операторов S0 и So- Если конденсат не исчезает, то в свою
очередь операторы So и Iob по отношению к их действию на основное состояние взаимодействующих частиц также являются в первом приближении просто числами. Этим обстоятельством можно воспользоваться, чтобы упростить выражения для функций Грина частиц конденсата.
Не следует, конечно, забывать, что оператор S0 уничтожает, а оператор Scf рождает одну частицу. Поэтому, строго говоря, дело в том, что ниже всюду будут существенны
только матричные элементы So, ScT для переходов из основного состояния системы с N частицами (N—ухз) в основное же состояние системы с N ± 1 частицами: с физической 272 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
точки зрения, отнимая одну частицу из бесконечного их числа в бозе-конденсате или прибавляя туда одну частицу, мы практически не изменяем основного состояния системы, за исключением, скажем, увеличения его энергии на величину химического потенциала Называя, далее, операторы S0 и So" числами, мы всегда будем иметь в виду последнее обстоятельство.
Рассмотрим это более детально на примере одночастичной функции
G0(t — t') = -l(T(\(OSo+ «'))> (S0(0 So+ (П).
Последнее выражение представим в виде суммы произведений матричных элементов по промежуточным состояниям:
I0 (t)Io+ (п I ф„> = (Флг IT0 (о і ф„+,> 1 ? (ПI -+-
+2 <Ф* IS0Wl ф^+і> (Ф N+i І їо+ (Ol фуу>.
S
где фд, И Фдг + 1-основные СОСТОЯНИЯ системы N и TV-I-I
взаимодействующих частиц, а Фдг+і — состояния системы jV —I— 1 частиц, отличные от основного. В этом выражении член с суммой мал, поскольку, например, ?о~Флг — Фдг+ь а Фдг+1 и Флг+і ортогональны. Что же касается матричных элементов для переходов из основного состояния в основное, то зависимость их от времени может быть установлена с помощью обычной квантовомеханической формулы
- і 4г I ^o С)1 Фуу+1> - (Ф* I [Ii. I0 (011 Флг н>
или
I0 (^) = S0 (0) е - " (^v+1 - ^v). Воспользовавшись определением химического потенциала и заменяя S0(O)->«oJ. найдем:
lO0(t — t') = nue-lv-«-tr). (23.17)
Иными словами, функция G0 (t — t') распалась на произведение двух независимых множителей, причем S0 (t) соответствует множитель Vti0 a SJ (/')—Уп0е1^'. Очевидно, зналогичное положение имеет место для произвольной функ- § 23] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T= О " 273
ции Грина частиц конденсата: при замене операторов J0 (Z)i JJ" (t) числами надлежит каждому оператору сопоставить множитель указанного вида. Тем самым диаграммная техника для вычисления гриновских функций надконденсатных частиц сведена к обычной диаграммной технике, в которой операторы J0 и J+ играют роль внешнего поля:
S0(t) = Vn0 Є-
(23.18)
Ї+[t) = Vn0 е^'-
Как обычно, при написании ряда теории возмущений следует учитывать только связанные графики. Учет несвязанных диаграмм сводится, как мы показали, к тому, что плотность числа частиц в конденсате идеального газа заменяется на точную величину плотности числа частиц в конденсате газа с взаимодействием между частицами, а также приводит к появлению частотных факторов (23.18). В остальном все диаграммы будут теми же, как если бы после подстановки в гамильтониан взаимодействия Hint операторов в виде (23.1) мы считали операторы J0 и Jo" в представлении взаимодействия внешними параметрами и при вычислении выражений (23.10) производили усреднение (¦¦¦)' и хронологизацию T' только по отношению к надконденсатным частицам (в связанных диаграммах). Чтобы получить окончательные выражения, необходимо произвести замену J0 и JJ" в соответствии с (23.18). Еще раз отметим, что плотность числа частиц конденсата п0 в газе взаимодействующих частиц отлична от своей величины для идеального газа.
