Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вычисляя функцию Грина надконденсатных частиц с помощью развитой выше техники файнмановских диаграмм, мы найдем для них выражения, в которых фигурируют два параметра, величина п0 и значение химического потенциала Вместо прямого вычисления по теории возмущений зависимости последних от плотности полного числа частиц в системе можно воспользоваться соотношениями общего порядка. Прежде всего, очевидное соотношение связывает плотность полного числа частиц в системе «0 и р.:
H = Ii0+ Ю'(х — х'), r = r'\ t' = t + 0. (23.19) 274 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Второе соотношение следует из условия минимальности энергии основного состояния относительно п0. Вычисление энергии основного состояния E = (H) с помощью изложенной выше схемы приводит к некоторому выражению для E в зависимости от параметров п0 и Варьируя E по п0 при постоянном полном числе частиц (при постоянном п), найдем второе условие
Щ = 0. (23.20)
Два условия (23.19) и (23.20) в принципе решают задачу. Для практических вычислений оказывается более удобным вместо (23.20) использовать соотношение (24.17).
В заключение этого параграфа обсудим кратко вопрос о выборе термодинамических переменных. До сих пор в качестве независимой переменной мы пользовались полным числом частиц в системе. Это было связано с тем обстоятельством, что при построении теории возмущений нам пришлось исходить из характеристик идеального бозе-газа, в котором при конечном химическом потенциале бозе-конденса-ция отсутствует: как известно, химический потенциал идеального бозе-газа тождественно равен нулю на всем интервале температур от нуля до температуры конденсации T0. Для системы взаимодействующих частиц химический потенциал не равен нулю и поэтому является такой же равноправной термодинамической переменной, как и полное число частиц. Как обычно, значение ц может быть найдено из условия, чтобы среднее число частиц в системе равнялось данному действительному числу частиц. По существу, именно это условие и выражает соотношение (23.19). Переход к химическому потенциалу в качестве независимой переменной представляет то формальное удобство, что позволяет избавиться от дополнительных временных зависимостей в формулах (23.18), возникающих в матричных элементах от вершин с So (t) и Io+ (t).
Действительно, переход ОТ переменной N K переменной [X, как мы неоднократно видели, осуществляется заменой полного гамильтониана системы H на H — Поскольку операторы if и (|)+ коммутируют с полным числом частиц N согласно
щ — ^N = — ф; — Ф+TV = Функция гринА
275
изменение гамильтониана приведет к дополнительной временной зависимости операторов ф и
ф-хг'^ф; ф+-» е~M . (23.21)
Одновременно изменятся гриновские функции, например полная одночастинная функция Грина
G(x — х')-^eiv- ('-'') О {х- х'). (23.22)
В компонентах Фурье такое преобразование означает замену в старых выражениях всех частот ш на ш + р. Поэтому и функции Грина частиц конденсата после преобразования (23.21) в новых термодинамических переменных не зависят от времени. Ввиду этого в соответствующих вершинах диаграмм можно опустить временные множители (23.18). Читатель может получить этот результат, переопределяя функции Грина согласно (23.22) и непосредственно исследуя ряды теории возмущений в связи с преобразованием (23.21) и (23.22). В дальнейшем всюду будет предполагаться выбор в качестве независимой термодинамической переменной.
§ 24. Функция Грина
1. Структура уравнений. Остановимся несколько более подробно на структуре ряда теории возмущений для одно-частичной функции Грина надконденсатных частиц. График любого порядка можно разделить на несколько неприводимых частей, соединенных между собой одной линией, соответствующей функции O(0)(x—д:'). Таким образом, любая диаграмма для функции Грина представляет собой цепочку собственно энергетических диаграмм, связанных нулевыми функциями Грина. На рис. 63 приведено несколько примеров, где кружками обозначены неприводимые собственно энергетические части, структуру которых мы не конкретизируем. Наличие конденсата приводит к тому, что среди собственно энергетических диаграмм появляются диаграммы нового типа, отсутствовавшие во всех рассмотренных в предшествующих главах задачах. Эти диаграммы возникают в результате взаимодействия надконденсатной частицы с частицами конденсата и содержат в некоторых вершинах операторы J0 276
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
и Eo", выступающие, согласно результатам предыдущего параграфа, в роли некоторого внешнего поля: E0, Eo+ —> V "о" Легко заметить уже из рис. 63, что полное число линий, входящих в любую неприводимую собственно энергетическую диаграмму, и полное число выходящих линий всегда равны друг другу (в полное число линий мы включаем также все ломаные линии, соответствующие операторам рождения и уничтожения частиц конденсата). Поскольку все собственно
Рис. 63.
энергетические части связаны прямыми линиями, т. е. содержат две входящие или выходящие надконденсатные частицы, то указанное обстоятельство позволяет следующим образом классифицировать все неприводимые собственно энергетические диаграммы:
