Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
полагая операторы E0 и Eo" внешними параметрами. Связанные диаграммы в рассматриваемом случае есть различные вакуумные петли; мы обозначим результат такого усреднения, которое затрагивает только операторы надконденсатных частиц в Hint, через Нс™зи. Величина Ншзи зависит как от параметров от J0 и Jo". Для нахождения окончательного результата следует все операторы E0 и Jo", фигурирующие в Н™3*, заменить на точные гайзенберговские операторы Ij0 и Jo", после чего для (25.3) получим:
{T\\HZr, SuHo+ (S)'))0 _
[хл0 — ^ —
= -<Г(КГ.У50+)>. (25.4)
Коммутация [Н™3*, J0] содержит коммутации J0 с различными произведениями операторов J0 и Jo" в вакуумных средних #ШЗН. При вычислении HYnt3" производилось обычное усреднение по технике Вика операторов надконденсатных частиц. Поскольку это усреднение состоит в попарном усреднении операторов <j/ и і|/+, то равны также между собой числа операторов E0 и Jo".
Рассмотрим, например, вакуумную петлю от-го порядка теории возмущений, содержащую 5 операторов J0 и s операторов Jo". Результат коммутации J0 с одним оператором Jo есть [jo\ J0] =--^F' НО Jo может коммутировать со всеми S
операторами Jo". Поэтому, если мы обозначим добавку к энергии основного состояния, соответствующую данной
и. S „ / TJ \связи /
вакуумной петле от-го порядка с я0, через (Hint)s (последняя величина получается из Hcfn™ заменой операторов J0 и іо на Vпо). то легко видеть, что выражение (25.4) есть
__1V^ S IJJ ,связи
S1 т
или
V^i д (H. Лс™®н д (H. Л
т, S 292 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
(вакуумное среднее (Hint) является функцией параметров ^ и я0). Поэтому в правой части (25.5) имеется в виду частная производная по я0 при постоянном ja). Идея дальнейшего доказательства (Пайнс и Гугенгольтц [41]) основана на том, что операторы E0 и Ect входят в гамильтониан взаимодействия
Рис. 71.
симметрично с операторами ф' и ф' + . Поэтому каждой вакуумной петле (Hint) с некоторым числом конденсатных линий на диаграмме можно формально сопоставить диаграммы для неприводимых собственно энергетических частей S11(O)1 S20(O)1 заменяя в петле нужное количество входящих и выходящих конденсатных линий (операторов ?о~ и Eo) на входящие и выходящие прямые линии (операторы ф/+ и ф'). На рис. 71 приведено несколько простых примеров для § 25] РАЗРЕЖЁННЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ Б03Е-ГАЗ 293
диаграмм низших порядков теории возмущений *). Поскольку входящие и выходящие линии частиц конденсата несут 4-импульс р = О, то указанное соответствие будет иметь место также и для матричных элементов S11 (р), S20(Р) — = Ia2(P) при р= 0.
Матричный элемент произвольной неприводимой диаграммы связи (Hint)mts строится по тем же правилам соответствия, что и сформулированные выше правила для функций Грина; единственное отличие, как легко убедиться, состоит в том, что численный множитель, на который надо умножить весь интеграл, равен
(-іГт-\
где т — порядок теории возмущений, s — степень я0 в данной диаграмме. Соответствующий множитель в матричном элементе для собственно энергетических частей имеет вид
(-if'"1 .
При дифференцировании вакуумной петли по я0 степень я0 уменьшается на единицу. Рассмотрим все возможные диаграммы для S11(O) от-го порядка теории возмущений, содержащие 5 — 1 множителей я0 (и такое же число входящих и выходящих линий частиц конденсата). Все эти диаграммы могут быть получены из вакуумной петли (Н™зн)т-Ipi заменой одного из S операторов на входящую прямую линию, а оператора S0— на выходящую, т. е. эти диаграммы могут быть получены S2 способами:
(Ец (°) )т, S-1 — 7^Ї7 (Htnt)m-1, s-
Что же касается диаграмм для S20(O), то последние получаются из (//;™3H)m-i, і заменой двух входящих конденсатных линий на две входящие прямые линии. Таких диаграмм имеется всего s(s — 1), по числу способов, которыми может быть сделана эта замена. Таким образом,
(S20 (0) )т, = v (HintYm-l, s-
') Некоторые из этих диаграмм равны нулю (см. ниже), но для иллюстрации наших рассуждений это не имеет значения. 294 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Сравнивая разность I11(O) — I20(O) с выражением (25.o), непосредственно получаем:
^=S11(O)-I20(O). (25.6)
Разумеется, правильность этого соотношения, как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, не ограничивается рассмотренным случаем парных сил взаимодействия между частицами.
Уравнение (25.6) вместе с уравнением (23.19), связывающим химический потенциал с плотностью полного числа частиц в системе, представляют собой совокупность двух
Рис. 72.
условий, из которых могут быть определены значения параметров ]х и п0. Мы не станем здесь останавливаться на доказательстве эквивалентности условий (23.20) и (25.6); заметим только, что для вычислений по теории возмущений (т. е. для случая газа слабо взаимодействующих частиц) удобнее пользоваться условием (25.6), поскольку последнее выражает [X непосредственно через известные нам величины идеального бозе-газа.
3. Приближение малой плотности. Применим развитую выше методику к газу взаимодействующих бозе-частиц с гамильтонианом (25.1). В гл. 1 этот пример был нами уже рассмотрен в предположении, что силы взаимодействия между частицами малы. Поэтому в выражение для спектра возбуждений (4.11) вошла компонента Фурье потенциала, в бор-новском приближении пропорциональная амплитуде рассеяния частиц друг на друге. Мы сейчас покажем, что этот результат § 25] разрежЁнный неиДЕАльный б03е-газ
