Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Диаграммы, имеющие один входящий и один выходящий концы, соответствующие надконденсатным частицам. В этих диаграммах числа входящих и выходящих ломаных линий (степени операторов Г0 и Eo+) должны быть равны. Мы обозначим сумму всех матричных элементов таких диаграмм в координатном представлении через S11 (х — х') и будем изображать ее заштрихованным кружком, как на рис. 64, а.
2. Диаграммы, из которых исходят две линии надконденсатных частиц. В таких диаграммах число входящих ломаных линий на две линии больше, чем число выходящих. Соответствующую сумму матричных элементов мы обозначим через S02 (л: — х') и будем изображать ее заштрихованным кружком с двумя входящими ломаными линиями, как на рис. 64, б. функция грина
277
3. Диаграммы, в которые входят две линии надконденсатных частиц. В этих диаграммах, наоборот, число выходящих ломаных линий на две превышает число входящих. Сумму этих матричных элементов обозначим через X2,Xх —х')< на рис. 64, в сумма таких собственно энергетиче-скихдиаграммизображена кружком с двумя выхо- ^ дящими ломаными ли- ^n ниями. Все три типа не- о; приводимых собственно . энергетических частей могут комбинироваться в произвольном порядке на диаграммах для функции Грина G' (х — х'). Единственное очевидное условие состоит в том, что число раз, которое встречаются в рассматриваемой диаграмме матричные элементы S02, равно соответствующему числу матричных элементов типа S20.
Ф BJ
Рис. 64.
Рис. 65.
На рис. 65 приведено несколько примеров диаграмм для функции Грина надконденсатных частиц.
Теперь мы можем написать аналог уравнения Дайсона для гриновской функции надконденсатных частиц. Проделаем этот вывод сначала графически. Для этого отделим первую неприводимую собственно энергетическую часть, встречающуюся на диаграмме, если двигаться вдоль цепочки слева направо. В отличие от случаев, рассмотренных в предшествующих главах, такие неприводимые части могут быть двух типов: S11 и S20. На рис. 65 пунктирной вертикальной 278 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
линией схематически изображено разделение некоторой произвольной диаграммы на две части. На рис. 65, а справа от разделяющего пунктира стоит цепочка линий и собственно энергетических частей, представляющая собой в сумме снова полную функцию Грина G'(х— х'). Образование же, стоящее справа от пунктира на рис. 65, б, в, г за собственно энергетической частью S20, просуммированное по всем диаграммам, представляет собой некоторую новую функцию, которую мы обозначим через G(x — xr). С графической точки зрения она отличается тем, что ?i^J^i' на представляющих ее диаграммах
имеются два выходящих надконденсат-aJ gj> ных конца. Ради удобства введем те-
Рис. 66. перь на графике для каждой линии, со-
единяющей две точки д: и х', стрелки, показывающие, входит или выходит линия в каждой из этих точек. Функция Грина невзаимодействующих частиц О(0) (х — х') представляет собой по определению среднее в представлении взаимодействия от Г-произведения операторов t]/(¦*)<]/ + (х').
Рис. 67.
В точке д; мы будем ставить вдоль линии стрелку в направлении от точки X (оператор <|/ (*)), а в точке х' — стрелку в направлении к точке х' (оператор <|>'+(¦*'))• Функция Грина G' (х — х'), очевидно, представляет собой жирную линию с двумя такими же стрелками, как и у нулевой (без взаимодействия) функции Грина (рис. 66, а). Что же касается функции G(x — л;'), то, как видно из рис. 65, б, в, г, на графике это будет жирная линия с двумя выходящими концами (рис. 66, б). Уравнения, связывающие между собой функции Грина G(x — х') и G(x — д;'), приведены на рис. 67. Структура этих уравнений понятна без дальнейших пояснений; мы отметим здесь лишний раз то об- ФУНКЦИЯ ГРИНА
279
стоятельство, что функция G(x — х') появляется в теории в результате взаимодействия надконденсатных частиц с частицами конденсата и поэтому не имеет аналога для невзаимодействующих частиц. Что же касается собственно энергети-
ческих частей S11, S20 и S02, то, как обычно, последние
не могут быть написаны в замкнутом виде через функции G и G. Техника файнмановских диаграмм дает для них разложение в ряды, каждый член которых может быть сопоставлен
vV
Z
Рис. 68.
определенной диаграмме. Несколько диаграмм низшего порядка для S11 и S20 приведено на рис. 68 для гамильтониана взаимодействия (23.12).
Напишем уравнения рис. 67'):
Q' (X — X') = О(0) (х — Xr) +
+ JJ O(0,(*-y)[2„(y-z)G'(*-*') +
+ S20 (у — z)G(z — x')]d4zd4y, (24.1)
Q(x — x') = f Jo(0) (у-*) [Z11 (г-у) О (* — *') +
+ S 02(y — z)G'(z — x')]d4zd4y.
1) Такой выбор коэффициентов в уравнениях означает соответствующее определение собственно энергетических частей (см. § 25). ' ' 280 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Переходя в этих уравнениях к компонентам Фурье для всех величин, получим:
G' (р) = О(0) (р) + О(0) (р) S11 (р) G' (р) +
+ G^(p)Iw(p)G(p), G (р) = G(0) (-Р) S11 (-P) G (P)±G{0\-p) S02(P)O' (р).
Используя выражение (23.9) для функции Грина невзаимодействующих частиц О(0) (р), можно представить уравнения (24.2) в более удобной форме:
