Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Г(0) (P1, P2; P3, Pd = U (P3-P1) +^fu (рх-к) О(0) (к) X XGm (P1+р2- k)Tl°\k, P1 + р2- k; р3. Pi) d4k. (25.9)
4. Эффективный потенциал взаимодействия. Займемся теперь изучением уравнения (25.9). Введем суммарный и относительные импульсы:
Pi +P2 = Ps +Pi = р> Pi — P2 = 2k> Pz — Pi = 2k'-§ 25] РАЗРЕЖЁННЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ Б03Е-ГАЗ 299
После этого уравнение (25.9) для Г(0|(/?,, р2; р3, /?4) == = Г(0)(й, k'\ P) преобразуется к следующему виду:
Г(0) {к, k'-, P)=U(k — к') + / U (к-р) G"}] 4- р) X X О(0)(-^ —р)г(0)(р, к'-, P)d*p. (25.10)
Потенциал взаимодействия V (х— х') не содержит эффектов запаздывания V (х — x')=U(r—r')l(t — ґ). Компонента Фурье V(q) = U(q), т. е. не зависит от четвертой компоненты 4-вектора q. Благодаря этому Г!0)(/?,, р2\ /?3, р4) зависит только от одной комбинации четвертых компонент ш, 4-(02 =:(03 + 0)4=2, где Я={Р, 2}. Поэтому Г(0)(?, k'\ Р) не зависит от четвертых компонент первых двух аргументов, что позволяет в интеграле уравнения (25.10) выполнить интегрирование по dm:
fd»aF»(*+p)cP»(*-p) =--р2 р2--
J W / > Q-L- f2u — E- -L/5
Am т
После подстановки в (25.10) уравнение для Г!0>(й, k'\ Р) принимает вид
Г(0) (А. A'; P)= U {к-к') +J^fdp
т т ^r 1
(25.11)
C-=Q---4-2 V
\ т 4m ' '
При произвольном законе взаимодействия это уравнение нельзя решить в общем виде, однако его решение можно выразить через амплитуду рассеяния двух частиц друг на друге в пустоте.
Напомним читателю, как ставится задача о рассеянии частицы на некотором потенциале U (г). Уравнение Шредин-гера частицы в поле U (г) может быть записано в виде
(V2+ ft2) ^(/")=2/^(/-)^(/"),300 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
где 2^- есть собственное значение энергии частицы, фА(/)—ее
волновая функция. Удобно представить это уравнение через решение уравнения Пуассона:
= Ir- ГЧ Г ' и (Ґ)Ф*(ґ) dr' + (г)' (25Л2)
где ф0А есть волновая функция свободной частицы с той же энергией. Амплитуда рассеяния определяется из условия, чтобы на больших расстояниях от центра рассеяния волновая функция имела вид суммы плоской волны (свободная частица) и расходящейся!):
, / Ч ;<,, el IAl\Г\ (Г) = еЧ*г — / (0)---,
где 0—угол рассеяния по отношению к направлению вектора к. Сравнивая поведение (25.12) при больших ] г | с этим определением, получим:
= f e-lk'r'U(r')t}k(r')dr', 4
где вектор k' направлен вдоль г. Переходя к импульсному представлению для волновой функции
%(r) = (2«)~a fty„(p)e'P'dp.
получим:
/(6) = /(*, к')=-^r f U(k'-p)tyk(p)dp (25.13)
(направление к — направление падения частицы). Обычно под амплитудой рассеяния понимают (25.13) для значений |ft| = |A'|; мы будем пользоваться обобщением амплитуды рассеяния /(к, к'), определяя ее, согласно (25.13), при произвольных векторах k и к'. Уравнение (25.12) в импульсном представлении имеет вид
(P) = (2Hk-р)+ + ¦ (25'14)
') Наше определение амплитуды рассеяния отличается знаком от общепринятого (см., например, [15]).§ 25] РАЗРЕЖЕННЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЁ-ГАЗ 301
После подстановки (25.14) в (25.13) получаем:
U(k'-p)[~f(k, р)]
к2 р
dp.
(25.15)
Вернемся теперь к уравнению (25.11). Рассеяние друг на друге частиц, взаимодействующих с потенциальной энергией U (г — г'), сводится, как известно, к задаче о рассеянии
одной частицы с приведенной массой от* — CT'm2 на потен-г гпхт2
циале U (г). Заменяя в уравнении (25.15) повсюду от —> * т
->т* = перепишем это уравнение в виде U{k-k') = [^f(k', *)]-
k'2 р2
^l(Llf), (25.16)
т
где через L мы обозначили оператор, стоящий в правой части (25.16). Вычитая одно и то же выражение в левой и правой частях (25.11), приведем это уравнение к следующему виду:
т т ^
= U ф - к') + ^r / U (к - р) (
f' т т302 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
В левой части этого уравнения стоит выражение І(Г(0)). Подействовав на него оператором L-1, получим окончательно для Г(0) уравнение
Г
(0)
(Л. *';/>) = ?/(*'. wf[?f<P- *>]*
—Ь---F)dp- (25Л7)
\ т т 1 m от
Как видно отсюда, Г!0)(&, ft'; P) в первом приближении
4 Tt
равно —А). Интеграл в правой части (25.17) сходится, даже если считать постоянными / и Г(0), и поэтому имеет порядок ^ /2. Как будет видно из дальнейшего, нужная
область импульсов | ft | есть | ft | — Vtn\x — V^n0/, т. е. | ft |/ 1, и для Г(0)(&, ft'; Р) достаточно ограничиться первым членом. Заметим, кроме того, что при этом можно в выражении для /(ft, ft') пренебречь зависимостью от ft, ft'. При малых энергиях эта зависимость имеет вид разложения по степеням отношения размеров частицы а к длине волны X—Vl^l-Поскольку а имеет порядок амплитуды рассеяния / и |ft|/ 1, мы можем окончательно написать:
Г(0> (ft, ft'; Р) ~ ^ / (0, 0) = U (25.18)
5. Функции Грина бозе-газа в приближении малой плотности. Спектр. На основании изложенного выше мы имеем:
2Il (Р) = fonO' ^20 (P) =^W (P) = ^f OnO' IА = ^f Mf
(25.19)
Подстановка этих выражений в (24.4) и (24 5) дает:§ 26] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ОКОНЧАНИЯ 303