Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 85

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 129 >> Следующая


Г(0) (P1, P2; P3, Pd = U (P3-P1) +^fu (рх-к) О(0) (к) X XGm (P1+р2- k)Tl°\k, P1 + р2- k; р3. Pi) d4k. (25.9)

4. Эффективный потенциал взаимодействия. Займемся теперь изучением уравнения (25.9). Введем суммарный и относительные импульсы:

Pi +P2 = Ps +Pi = р> Pi — P2 = 2k> Pz — Pi = 2k'- § 25] РАЗРЕЖЁННЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ Б03Е-ГАЗ 299

После этого уравнение (25.9) для Г(0|(/?,, р2; р3, /?4) == = Г(0)(й, k'\ P) преобразуется к следующему виду:

Г(0) {к, k'-, P)=U(k — к') + / U (к-р) G"}] 4- р) X X О(0)(-^ —р)г(0)(р, к'-, P)d*p. (25.10)

Потенциал взаимодействия V (х— х') не содержит эффектов запаздывания V (х — x')=U(r—r')l(t — ґ). Компонента Фурье V(q) = U(q), т. е. не зависит от четвертой компоненты 4-вектора q. Благодаря этому Г!0)(/?,, р2\ /?3, р4) зависит только от одной комбинации четвертых компонент ш, 4-(02 =:(03 + 0)4=2, где Я={Р, 2}. Поэтому Г(0)(?, k'\ Р) не зависит от четвертых компонент первых двух аргументов, что позволяет в интеграле уравнения (25.10) выполнить интегрирование по dm:

fd»aF»(*+p)cP»(*-p) =--р2 р2--

J W / > Q-L- f2u — E- -L/5

Am т

После подстановки в (25.10) уравнение для Г!0>(й, k'\ Р) принимает вид

Г(0) (А. A'; P)= U {к-к') +J^fdp

т т ^r 1

(25.11)

C-=Q---4-2 V

\ т 4m ' '

При произвольном законе взаимодействия это уравнение нельзя решить в общем виде, однако его решение можно выразить через амплитуду рассеяния двух частиц друг на друге в пустоте.

Напомним читателю, как ставится задача о рассеянии частицы на некотором потенциале U (г). Уравнение Шредин-гера частицы в поле U (г) может быть записано в виде

(V2+ ft2) ^(/")=2/^(/-)^(/"), 300 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V

где 2^- есть собственное значение энергии частицы, фА(/)—ее

волновая функция. Удобно представить это уравнение через решение уравнения Пуассона:

= Ir- ГЧ Г ' и (Ґ)Ф*(ґ) dr' + (г)' (25Л2)

где ф0А есть волновая функция свободной частицы с той же энергией. Амплитуда рассеяния определяется из условия, чтобы на больших расстояниях от центра рассеяния волновая функция имела вид суммы плоской волны (свободная частица) и расходящейся!):

, / Ч ;<,, el IAl\Г\ (Г) = еЧ*г — / (0)---,

где 0—угол рассеяния по отношению к направлению вектора к. Сравнивая поведение (25.12) при больших ] г | с этим определением, получим:

= f e-lk'r'U(r')t}k(r')dr', 4

где вектор k' направлен вдоль г. Переходя к импульсному представлению для волновой функции

%(r) = (2«)~a fty„(p)e'P'dp.

получим:

/(6) = /(*, к')=-^r f U(k'-p)tyk(p)dp (25.13)

(направление к — направление падения частицы). Обычно под амплитудой рассеяния понимают (25.13) для значений |ft| = |A'|; мы будем пользоваться обобщением амплитуды рассеяния /(к, к'), определяя ее, согласно (25.13), при произвольных векторах k и к'. Уравнение (25.12) в импульсном представлении имеет вид

(P) = (2Hk-р)+ + ¦ (25'14)

') Наше определение амплитуды рассеяния отличается знаком от общепринятого (см., например, [15]). § 25] РАЗРЕЖЕННЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЁ-ГАЗ 301

После подстановки (25.14) в (25.13) получаем:

U(k'-p)[~f(k, р)]





к2 р

dp.

(25.15)

Вернемся теперь к уравнению (25.11). Рассеяние друг на друге частиц, взаимодействующих с потенциальной энергией U (г — г'), сводится, как известно, к задаче о рассеянии

одной частицы с приведенной массой от* — CT'm2 на потен-г гпхт2

циале U (г). Заменяя в уравнении (25.15) повсюду от —> * т

->т* = перепишем это уравнение в виде U{k-k') = [^f(k', *)]-

k'2 р2

^l(Llf), (25.16)

т

где через L мы обозначили оператор, стоящий в правой части (25.16). Вычитая одно и то же выражение в левой и правой частях (25.11), приведем это уравнение к следующему виду:

т т ^

= U ф - к') + ^r / U (к - р) (

f' т т 302 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V

В левой части этого уравнения стоит выражение І(Г(0)). Подействовав на него оператором L-1, получим окончательно для Г(0) уравнение

Г

(0)

(Л. *';/>) = ?/(*'. wf[?f<P- *>]*

—Ь---F)dp- (25Л7)

\ т т 1 m от

Как видно отсюда, Г!0)(&, ft'; P) в первом приближении

4 Tt

равно —А). Интеграл в правой части (25.17) сходится, даже если считать постоянными / и Г(0), и поэтому имеет порядок ^ /2. Как будет видно из дальнейшего, нужная

область импульсов | ft | есть | ft | — Vtn\x — V^n0/, т. е. | ft |/ 1, и для Г(0)(&, ft'; Р) достаточно ограничиться первым членом. Заметим, кроме того, что при этом можно в выражении для /(ft, ft') пренебречь зависимостью от ft, ft'. При малых энергиях эта зависимость имеет вид разложения по степеням отношения размеров частицы а к длине волны X—Vl^l-Поскольку а имеет порядок амплитуды рассеяния / и |ft|/ 1, мы можем окончательно написать:

Г(0> (ft, ft'; Р) ~ ^ / (0, 0) = U (25.18)

5. Функции Грина бозе-газа в приближении малой плотности. Спектр. На основании изложенного выше мы имеем:

2Il (Р) = fonO' ^20 (P) =^W (P) = ^f OnO' IА = ^f Mf

(25.19)

Подстановка этих выражений в (24.4) и (24 5) дает: § 26] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ОКОНЧАНИЯ 303
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed