Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
н» = і j I Itff + С"') + V+ ?-) tf] Y (r) Y (Ґ) X
X и (r—r') drdr',
H> = \f S Y+ C) V+ (T') IY C-O S0 + ioY С-)] X
X и (r — r') drdr',
Hd=^j J CO ^'C) + tiY* Wbt'C')] X (25.2)
XU(r — r')drdr',
He = j j f [ tf f + (r> W (r) + C-O W (r')] X
X U (r-r')drdr'.
Hxc = Y J I tf ^(r0 U(r — r'> dr dr''
HJ = iff W+ C) f+ CO U(r- r') dr dr'. 288 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Элементарные процессы, соответствующие каждому из этих членов, представлены на рис. 70. Построение любого матричного элемента можно произвести обычным способом, применяя теорему Вика к операторам надконденсатных частиц. Согласно результатам предыдущих параграфов, необходимо брать только связанные диаграммы для изучаемого процесса, считая всюду операторы So и So внешними параметрами, вместо которых надо подставить So. So" -*¦ V я0 (если частоты всех участвующих в процессе частиц отсчитывать от значения химического потенциала). Мы ограничимся только тем, что сформулируем правила взаимного соответствия в импульсном представлении между матричными
у^г у^л^
а/ OJ Ч у г,
dj е; ж; 's)
Рис. 70.
элементами и диаграммами для одночастичных функций Грина. Рассмотрим произвольную диаграмму т-то порядка теории возмущений для одной из функций Грина, скажем, G' (X — х'), содержащую s входящих и s выходящих кон-денсатных линий (как мы неоднократно отмечали, полные числа входящих и выходящих линий на любой диаграмме должны быть равны). Рассматриваемая диаграмма содержится в выражении
(-^frt'W/им •••
Число возможных перестановок от гамильтонианов Hint (t не нарушающее порядка спариваний, определяемого данной диаграммой, равно от! Число операторов <]/ (равное числу операторов ф/+), очевидно, равно 2от — s —(— 1.
Согласно определению функции Грина О(0), на каждое спаривание (|/і|/ приходится множитель — L Будем сопо- § 25] РАЗРЕЖЁННЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ Б03Е-ГАЗ 289
ставлять каждой прямой линии функцию Грина O^ и введем волнистую линию, соответствующую потенциалу
V(X-X1) = U (г — г') Ь (t — t').
Полное число тройных вершин (т. е. вершин, из которых исходит волнистая линия), согласно формуле (25.1) и рис. 70, вдвое больше порядка теории возмущений. Нетрудно убедиться, что если ввести фурье-компоненты всех величин:
. О' (х-х') = -~- j" О' (р) е'р dAp,
V(X-X1)=-^r J U (д) d*q и т. д.,
то построение матричного элемента любой диаграммы /га-го порядка теории возмущений для функции Грина может быть произведено по следующим правилам:
1) каждой прямой линии, идущей слева направо, соответствует в О (р) функция G(0> (р) = (ш — є0 (р) ]х -)- /8)-1 (линии, имеющей обратное направление, соответствует
0(й) (— р));
2) каждой волнистой линии с импульсом q соответствует компонента Фурье потенциала взаимодействия U (q);
3) входящей или выходящей конденсатной линии соответствует множитель Vn0;
4) в каждой тройной вершине импульс q волнистой линии равен разности импульсов линий частиц. По импульсам, не определяемым законами сохранения, производится интегрирование, причем каждому интегрированию отвечает множитель (2тс)_ ;
5) весь матричный элемент должен быть умножен на ASi т(—i)s~m, где ^iimзависит от того, какие члены из(25.2) участвуют в диаграмме. Для функций Грина О и О эти правила остаются без изменения, если под S понимать степень множителей п0, фигурирующих в данной диаграмме порядка т. Действительно, если, например, в одной из диаграмм для О число входящих конденсатных линий равно I, то, согласно определению G (24.7), число выходящих равно 1-\-2. Число 290 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
спариваний операторов ф' и ф'ь (число функций О(0)), очевидно, равно
2т —L
Поскольку на каждую функцию Грина, по ее определению, приходится множитель —г, то множитель, на который следует умножать матричный элемент, равен
Но I -f- 1 как раз и есть степень 5 множителей я0, происходящих от конденсатных линий.
2. Связь химического потенциала с собственно энергетическими частями одночастичных функций Грина.
Перейдем теперь к доказательству формулы (24.17) для химического потенциала р.. Рассмотрим оператор E0 (t) в гай-зенберговском представлении (мы полагаем, что в полный гамильтониан включен член —pN). В отношении зависимости от времени E0 (0 удовлетворяет обычному операторному квантовомеханическому уравнению
= [E0 (0. Щ = - йо (0 - [Нш> ^o (01 ¦
С помощью этого уравнения для гриновской функции O0(t — Ґ) частиц конденсата найдем:
d0oiizn = 1f-0o « - п- <т([i0(0. нш] eo+ (п)>.
Но, согласно результатам предыдущих разделов, G0 (/— Ґ) не зависит от времени и есть просто п0. Отсюда следует:
ця0 = - (Т([НШ, E0 (*)]!о+ (*'))). (25.3)
Вычислим среднее, стоящее в правой части этого соотношения. Переходя к представлению взаимодействия
(тли (rOVoMii^ \T'\Hinv (Г)J/ =--щ-.
воспроизведем кратко аргументацию § 23. В операции T и (...) выполним сначала усреднение и хронологизацию по надконденсатным частицам. Согласно общим рецептам, при этом надлежит учитывать только все связанные диаграммы, § 25] разрежЁнный неидеальный б03е-газ 291
