Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
295
на самом деле справедлив в более общем случае, в котором не предполагается слабость взаимодействия, но зато малой считается плотность газа, т. е. малы размеры частиц по сравнению со средними расстояниями между частицами в газе (если характеризовать размеры частиц амплитудой б'-рассеяния их друг на друге /0, то малой величиной является комбинация /о'і' ? <d 1)- Рассмотрим графики первого приближения теории возмущений для S11 (р), I20 (р) (рис. 72).
Из трех графиков I11 первый обязан усреднению члена Ha (25.2) гамильтониана взаимо-де-"' "шя (25.1). Этот график
Рис. 73. Рис. 74.
равен нулю, поскольку внутренняя линия в нем представляет собой среднее —і (ф/ + (/*') ф' (/")) = 0 (напоминаем, что волнистая линия соответствует потенциалу взаимодействия V (х— x')=U(r — r')b(t — t'), порядок же операторов ф' + и ф' в Ha задается (25.1)). Остающиеся члены дают:
Ili' (р) = n0(U(0) + U (р)).
(P) =$8 (P) = noU (р),
где U (р) суть компоне«ты Фурье потенциала взаимодействия. Согласно (25.6),
= nQU (0).
Из всех диаграмм второго порядка теории возмущений отличны от нуля только диаграммы, приведенные на рис. 73. Например, диаграммы In (р) рис. 74 равны нулю, поскольку 296 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
в каждой из них имеются произведения гриновских функций вида О(0)(г —г', tl — t2)O(0)(r" — г"', t2 — tx) (в координатном представлении). Между тем, как мы знаем, G(0) (гJ — r2, tx —t2) = 0 при t,<t2.
Для оценки графиков рис. 73 примем для простоты, что компонента Фурье от потенциала взаимодействия имеет следующий вид:
^o при |/>|<С^.
U(P) =
о при |/>j;> ,
где а — /0 по порядку величины есть радиус частицы. В оценку любого графика могут войти следующие параметры, фигурирующие в задаче: U0 и а, характеризующие взаимодействие, т — масса и п0 — плотность числа частиц конденсата. Из этих параметров можно образовать две безразмерные комбинации:
mU0
?=V4
з
Величина ? есть параметр теории возмущений (разложение в борновский ряд), а ?— «газовый» параметр. Формально теория возмущений есть разложение по степеням ниже мы будем, однако, полагать только ?<^l.
Рассмотрим для большей простоты диаграмму на
рис. 73. Для нее
Si (P) ~n0f О<0) (q) О(0) (- q) U (q) U (р - q) d*q da>
или, подставляя значения функций Грина О<0) (23.9) и интегрируя по ш, получим:
«О
В последнем интеграле играют роль большие \q\ — —, при которых ^jz0q—mnQU0a2 = S?2 1, так что
Sg) _ na?. § 25] РАЗРЕЖЁННЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ Б03Е-ГАЗ
297
Подобная же оценка для графиков Sn показывает,
Рассмотрим теперь график третьего порядка Sm рис. 75, а. Для него получаем:
что
(3)
на
2
¦По
J О(0) (- q) [G(0) O7)]2 [ U (q)f U (p + q) dq do
f Tt^
¦ ntul
(11-4(4)? '
Последний интеграл в отличие от предыдущего случая сходится на верхнем пределе, и в нем главную роль играет область I q\ — Vm^ — V^n0U0In, так
что
еГ
nluy<>
la^?. (25.7)
В то же время диаграмма третьего / порядка рис. 75, б имеет величину
—
A f
Чч
Ф
J20 '
у(1) Л ^20 Ї •
(25.8)
Рис. 75.
Из (25.7) и (25.8) видно, что рГ'/г Sg,o). Этот
результат есть следствие того факта, что S2oo) содержит два интеграла от произведения двух G(0\ формально расходящихся каждый на верхнем пределе, тогда как в S2oo> интегрируются три функции G(0); интеграл сходится без обрезания и определяется значениями подынтегрального выражения в области импульсов \q\—тц. На графиках это отличие состоит в числе сплошных линий в замкнутой петле (образованной прямыми и волнистыми линиями).
Таким образом, каждая петля в с числом прямых линий больше двух вносит малый параметр ?, петли же с двумя линиями не содержат ?. В низшем приближении надо учесть поэтому графики только второго типа. Формально это означает, что из всех графиков для S11 и S20 надо выбрать только те, в которых содержатся две кон-денсатные линии, входящие или выходящие, т. е. графики первой степени по я0. Действительно, из соображений размерности ясно, что все графики, содержащие большую степень п0, содержат дополнительную малость по параметру ?. 298
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Все нужные графики принадлежат к лестничному типу (рис. 76). Обозначим совокупность графиков рис. 77 в импульсном представлении через r(0)(pj, р2; р3, Pi). Первое приближение по ? отличается, таким образом, от первого приближения теории возмущений заменой компоненты Фурье потенциала U (q) (первая «перекладина лестницы») на Г(0,(Л. Р2> Pi—Я' P2+4)- Разумеется, во всех более сложных графиках суммирование содержащихся в них «лестннч-
п(0) -
ных» петель также приводит к появлению в них і (для наших целей, однако, рассмотрение этих графиков излишне,
поскольку, как указывалось, у, они дают члены более высо-
" кого порядка по ?). Таким
-V
rZS І
/
4N\
VA
X
Рис. 76.
Рис. 77.
образом, потенциал U (q) исключается из задачи; роль эффективного потенциала играет Г'0*.
Интегральное уравнение для величины r(0)(pj, р2; р3, р4) непосредственно следует из структуры графиков рис. 77:
