Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
- г*
I Y+(X) у+ (Xr) U (г —г') у (Xf) Y(X) drdr'.
На рис. 62 изображена в качестве примера одна из диаграмм второго порядка для функции 0(х—х'). На этой
диаграмме сплошная линия соответствует функции G*0' (х — х') (23.9), волнистая линия между двумя точками есть U (г—г') — потенциал взаимодействия, а с помощью ломаной свободной линии мы изображаем здесь операторы E0 рис ?2 и ^o"• причем линия, направлен-
ная к соответствующей вершине, есть Jo", от вершины —J0. Матричный элемент этой диаграммы равен
G (X1 - х2) = і f G<0) (X1 - х3) G(0) (x3- x5) J0 (Z5) U (r3 - r4)X
X Jo+ (t4) G(u) (x4 - x6) U (r6 - r5) G(u) (xG - x2) rf4x3 ... d*x6.
(23.13)
В общем случае (23.10) матричный элемент т-го порядка в G„(xi ... хп; Xi... х„) содержит произведение любого числа операторов Jo и Jo". Заметим только, что степени J0 и Jo" обязательно совпадают. Это связано с тем, что взаимодействие Hlnt сохраняет полное число частиц. Поэтому если числа операторов Jo и Jo" не равны, то не равны друг другу числа операторов ф и <]/+ в среднем (...)', которое, следовательно, равно нулю.
Пусть Mn (X1 ... хп; Xj ... XnJ есть связанная диаграмма в (23.11), имеющая Im вершин, соответствующих т опера- § 23] применение методов теории поля при t= О " 269
торам и Eo"- Под связанной диаграммой мы, как обычно, подразумеваем диаграмму, которая не распадается на части, не соединенные хотя бы одной линией. Рассмотрим наряду с Mn все диаграммы, отличающиеся от нее наличием «вакуумных» петель — различных несвязанных диаграмм. Как хорошо известно из теории поля, вся совокупность таких диаграмм приводит к умножению каждого матричного элемента на среднее .значение 5-матрицы. В нашем случае Mn умножается на (S)' . Таким образом, при построении ряда теории возмущений для величин (23.11) достаточно рассмотреть только связанные диаграммы, умножая соответствующий матричный элемент на (S)'.
—- / ' ' \
Перейдем теперь от вычислений Gn (Xj ... хп; xi . . . хп)
к вычислению '
, _ (T0Gjxl ... Хп;х[ ... Xn))0 Gn (X1 . . . хп; X1 . . . хп) == .
На этом этапе становится существенным операторный характер Eo и So • До сих пор это обстоятельство можно было игнорировать, поскольку операции T' и (¦¦¦)' не затрагивают Eo и Ef, которые коммутируют с <]/ и <]/+. Каждый матричный элемент Mn в Gn, подобно (23.13), содержит под интегралом определенное число операторов Eo и Ео\ умноженных на средние вида (23.8). Пусть в Mn содержатся
E0 (*,)... E0CU (О- (Q-
Для окончательного нахождения G ^x1 ... хп; х'х . .. х'п) необходимо вычислить средние ( . .. )° вида
(5)
Поскольку в свою очередь операции T0 и ( )° не затрагивают надконденсатных частиц, мы видим, что искомые средние есть /га-частичные функции Грина частиц конденсата:
0OmitI - --tHi' tI-- - Q =
(Т (I0 (*) S0 (fffl)S+ «)...?0+ (С) S)) 270
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Следовательно, для определения функций Грина надконден-сатных частиц через ряд теории возмущений необходимо знать точные /га-частичные функции Грина частиц конденсата.
Сложность непосредственного вычисления этих величин из формул вида (23.14) через значения плотности п числа частиц в конденсате без взаимодействия связана с тем, что для произведения операторов J0, J0" не имеет смысла разложение теоремы Вика на нормальные произведения, поскольку среднее по исходному состоянию от таких нормальных произведений типа N(а+ ... а0 ...) не только не равно нулю, но и очень велико. В то же время в (23.14) нельзя пренебречь некоммутативностью операторов J0 и J0". В самом деле, (S)' можно записать в виде ')
(S)' = expo, (23.15)
где а есть сумма всех односвязных (не разделяющихся на независимые части) «вакуумных» петель и функционал от Jo. Jd". Эта сумма пропорциональна объему (плотность числа частиц конденсата «о =Jo Jo есть конечная величина). При формальном разложении (S)' в ряд по степеням с в (23.15) возникают любые степени V, поэтому хотя в соотношениях коммутации + 2
JoJo —- Jo Jo = -у-
правая часть имеет порядок 1 /V, пренебрежение ею было бы незаконно, поскольку малость величины \/V может быть компенсирована соответствующей степенью V при разложении (23.15).
Поэтому удобнее пойти по другому пути. Для этого заметим, что выражения (23.14) могут быть записаны непосредственно через гейзенберговские операторы
Gom (t\ ... tm; . . . tm) =
= (TdCf1) ... Io (U) Jo+ (t[) . - . X o+ (С) )>, (23.16)
') В теории поля возможность представления (S) в виде (23.15) доказывается в предположении, что S0 и Sj суть внешние параметры, не имеющие операторных свойств. Мы видим, однако, что в (23.14) (S)' стоит под знаком хронологизации по операторам S0 и J0". Бо-зе-операторы, стоящие под знаком Т-произведения, по самому смыслу этой операции можно переставлять между собой. Поэтому это предположение теории поля здесь выполнено. § 23] применение методов теории поля при T= О " 271
где среднее значение произведения берется по основному состоянию взаимодействующих частиц. Рассмотрим сначала
