Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(«о _ B0 (р) + !X - S11 (P)) G' (P) - S20 (р) G (P) = 1, (.„ш_Єо (P)Jrv,_ S11 (-Р) )G(p)— S02 (р) G' (р) = 0
^здесь Введя обозначения
+ а w = Ll(P)^fuJt-PL
и выражая Gt (р) и G(p) из уравнений (24.3) через величины S11, S02, S20, получим G' (р) и G (р):
п, (___ю + (P) + -S1 (р) + А(р) — \>._
Кр) (^-A(p)y-Ua(p)+S(p)-i>.y+l20(p)l02(p)>
G (п) =__?°2 _ (24 5)
и{р> (ш-Л (р) )»-(.„ (р) + S (р)-,J.)2 + S20 (р) S02 (р)'
Эти формулы обобщают обычное выражение для одно-частичной функции через ее собственно энергетическую часть.
2. Аналитические свойства функции Грина. До сих пор функция G (р) фигурировала у нас как результат суммирования определенных графиков. Мы дадим сейчас ее определение через операторы <]/+. Для этого рассмотрим величину
и убедимся, что ее разложение в ряд теории возмущений совпадает с разложением функции О(х—х'). Будем считать, как это было сделано в конце предыдущего параграфа, что ФУНКЦИЯ ГРИНА
281
все операторы определены с множителями eiiLt илие l>Lt (24.21), и перейдем к представлению взаимодействия
-i(T(i0i0Y+(x)^+ (x'))S) (S)
Разобьем операции T и (...) на T=TiT' и ((...)')0. Рассматривая S0 и Kh как внешние параметры, т. е. производя усреднение по надконденсатным частицам, получим, что диаграммы для этой величины совпадают с диаграммами функции 0(х — х'), тогда как матричные элементы отличаются наличием двух лишних операторов S0- Усреднение по частицам конденсата, как было показано, сводится к замене операторов Eo и Eo" в представлении взаимодействия гейзенберговскими операторами Su и So" ив свою очередь замене последних числами: E0->V~n0 и ScT Таким обра-
зом, для функции 0(х — х') можно использовать два эквивалентных определения:
Q (X _ X') = =L ( Т(EoSo У + (х)у + (х'))) (24.6)
"о
или
Q(x — x')= — l(N +2) Т(У + (x)f + (х'))| А/). (24.7)
где в последней формуле G(x — х') выражена через матричный. элемент от Г(ф'+ (х)ф'+ (х')) между основными состояниями системы с ЛГ + 2 и N частицами.
Исследуем свойства гриновских функций G'(х — х') и G (X — х'). Используя определение функции G'(х — х') (23.4), представим ее, подобно тому как это делалось в гл. II, в виде суммы матричных элементов по промежуточным состояниям при ty> Ґ и t < t'\ при t > Ґ
G' (X — X') = — і 2 (N I f (х) I m) (от I f+ (х') I А/),
m
при t < Ґ
G' (X — *') = — * 2 (W |у+ (х')\ п) («|f (х)| N). 282 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Выделяя в матричных элементах обычным образом зависимость от координат и времени, получим:
О' (X — х') =
S I**™ Pexp {lpm(r-r')-tomN{t-t')+lv(t-t')} ,
т
t > t',
~'S I^J2exP [iPnir' — Г)-^nN —
п
t < t'\ (24.8)
здесь Pm и рп — импульсы системы в промежуточном состоянии, ^mN==Etn-Em, u>nN = En — EN0, где En, Em-энергии системы в состояниях« и т, En0 — энергия основного состояния системы с числом частиц N. По свойствам операторов <]/ и <j? f в состояниях т система имеет N 1 частиц, а в состоянии п число частиц равно N—1. С этим и связано появление в (24.8) множителей е±1"(. Воспользовавшись определением — Eno, представим (24.8) в следующем виде:
О' (X — X') =
1 S I <hvm 12 exP {iPm (Г — Г0 — 1 (Ет ~ EN + ю) (( ~
т
(t > П,
і S |<Ы2е*Р {- ipn{r-r')+i(.En~EN_X0)(t~t')}
<' < (24.9)
Разности энергий Em — Eaг+10 и En — EN_l0 представляют собой спектр, или энергии возбуждения, для систем с N-f-1 и N — 1 частицами. При большом числе частиц спектры
1
этих систем с точностью до членов порядка jj совпадают.
Взяв компоненты Фурье по разности координат и времен от (24.9), получим в импульсном представлении для функции Грина результат:
G' (P) = (2*)» 'У - 8 piY\'.!¦•> -
v ЧР + Рп)\'^п\2
(24.10) § 24] функция Грина 283
Полюсы функции G'(р) соответствуют значениям ш = = ± (Em— E0), т. е., как всегда, определяют с точностью до знака спектр системы; положение их относительно вещественной оси (о ясно из правил обхода (24.10).
Аналогичное разложение по промежуточным состояниям проведем теперь для функции G(x — х'), воспользовавшись ее представлением в форме (24.7):
G(x — x') =
— і2 (N + 2 If'+ (X)\m)(m\ f'+ (*')| N) (t > t'),
m
— і 2 (N + 21f' + (X')\m)(m\ f'+ (x)| N) (t < t') m
ИЛИ
G (x — x') =
¦ І 2 <\>N+2m''fmNeiP>n (Г~П~' ^m ~ENWf 1O t+ 1 іE«
m
(t > П.
і 2 фл+2mf»uveip™(Г'' -EN+20+V-) V + 1 (Em-Em-V-) t m
(t < t').
(24.11)
Состояния, отмеченные индексом т., соответствуют состояниям системы с числом частиц /V +1. Вводя в формулы (24.11) En+w — основное состояние системы с числом частиц А/ —I— 1 и воспользовавшись опять определением химического потенциала, преобразуем (24.11) к виду
G (X — х') =
-if>П
т
- (t < t'). т
Компонента Фурье функции G (х — х') равна
G(P)= (2и)3^ф^+2тф+УХ т
HP-PJ Ь(Р + Рт)
X
- (Ет - EN+1O) + ІЬ " + iEm - EN+ю) "
. (24.12) 284
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Сравнивая выражения (24.10) и (24.12), можно заключить, что полюсы функций Грина О' (х— х') и G(x— х') совпадают. В частности, обращаясь к представлению О' (р) и G(p) через неприводимые собственно энергетические части (24.4) и (24.5), мы видим, что спектр системы w=z(p) определяется из уравнения
