Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
^r ^P2 , 4л"о/о\2 1бА?/о
=V+р2 (25-20)
есть спектр системы при малых импульсах. Отличие (25.20) от полученного в гл. I выражения для спектра (4.11) состоит в замене борновской амплитуды на точную амплитуду S-рассеяния. Как следует из (25.20), квазичастицы при
\p\<^Vnofo имеют звуковую дисперсию s(/j)~|/»| а при |р| Vn0f0 переходят в «почти свободные» частицы в (р) ~ е0 (р) -f- 4it^oZo (Такой вид спектра соответствует частице, движущейся в сплошной среде с некоторым коэффициентом преломления). Переход в формуле для закона дисперсии от области фононов к области «свободных частиц»
происходит при \р J — I^0Zo 1//о• так чт0 0^e области законно рассматривать в приближении постоянных амплитуд.
Отметим в заключение, что изученная модель никак не может быть сопоставлена свойствам реального гелия. Не говоря уже о том, что приближение малой плотности не соответствует жидкому Hell, стоит еще подчеркнуть, что форма спектра (25.20) при малых р на самом деле неустойчива. Действительно, при P Ф 0 g-^-j- — скорость возбуждения —
больше скорости звука ^71^/° ¦ Т. е. возбуждение может
рождать фонон (см. следующий параграф). Это приводит к появлению затухания в спектре с временем жизни возбуждения, обратно пропорциональным |рр при малых р. Спектр гелия при малых р такой неустойчивостью не обладает.
§ 26. Свойства спектра одночастичных возбуждений вблизи точки окончания спектра
1. Постановка вопроса. Спектр одночастичных возбуждений в реальной бозе-жидкости, т. е. в гелии, не может быть, конечно, вычислен теоретически. Линейная зависимость энергии от импульса (фононная часть спектра) имеет место только 304 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
при самых малых импульсах, при больших импульсах спектр отклоняется от линейного и дальнейший его ход зависит от конкретных свойств взаимодействий между частицами жидкости.
Характерным для спектра возбуждений в бозе-жидкости по сравнению со спектром ферми-жидкости является то, что бозе-возбуждения могут существовать как незатухающие. С математической точки зрения это означает, что решения уравнения (24.16) являются вещественными. При конечных температурах затухание возбуждений обусловлено возможностью их столкновений друг с другом. При абсолютном нуле реальных возбуждений нет. Поэтому единственным механизмом, приводящим к конечному времени жизни возбуждения, может явиться распад его на возбуждения меньшей энергии, если такой процесс допускается законами сохранения импульса и энергии. В ферми-жидкости всегда возможен распад с образованием частицы и дырки, что приводит к конечному времени жизни квазичастиц, обратно пропорциональному (\р \ — р0)2. В бозе-жидкости при достаточно малых импульсах возбуждения существуют как незатухающие. Только с увеличением импульса энергия возбуждения достигает, в конце концов, некоторого порогового значения, выше которого возбуждение неустойчиво относительно распада на два или больше возбуждений с меньшей энергией. Такой порог мы назовем точкой окончания спектра. Она представляет собой особую точку кривой спектра. Ниже мы попытаемся выяснить характер этой особенности, причем, как это будет видно из дальнейшего, полное исследование может быть выполнено в общем виде без каких бы то ни было предположений о слабости взаимодействия (Питаевский [42]). Мы ограничимся только (надо думать, с достаточной физической общностью) предположением, что точка окончания спектра соответствует порогу распада на два (а не более) возбуждения.
В процессе распада возбуждения на два должны выполняться законы сохранения энергии и импульса. Это обстоятельство можно выразить уравнением
в(р)=в(0+в(р-9). (26.1)
Здесь р и в(р) — импульс и энергия распадающегося возбуждения, q и e(q)— импульс и энергия одного из возбужде- § 26] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ОКОНЧАНИЯ
305
ний, образующихся при распаде, р — q мв(р — q) — импульс и энергия второго из образовявшихся возбуждений. Если уравнение (26.1) при заданном р не имеет решений для q, это означает, что распад невозможен. Порог распада (импульс возбуждения в пороговой точке мы обозначим через рс, энергию — через ес = є(рс)) характеризуется тем, что (26.1) не имеет решений для q при є < ес и имеет решение при S = Sc. Для этого необходимо, чтобы правая часть (26.1) при Jp I = рс имела как функция вектора q минимум при некоторых значениях q. При \р\ = рс правая часть (26.1) зависит от двух переменных: от абсолютной величины вектора q и cos 8, где 9 — угол между векторами р и q. Указанное выражение может иметь минимум как при б, равном нулю, так и при конечном б.
Пусть правая часть (26.1) имеет минимум при некотором импульсе q. Произведем разложение до членов второго порядка по приращению Дq:
B(q+bq) + B(p-q-Д9) ~ є (?) + є (р - ?)+?^
<Mp-g) д„ I 1 дч (?) к„ A0 I 1 дЧ(р-д)
--Щ-+ T -д^дЧ 1 * 2 dPidPk 1
В точке минимума линейные члены должны выпадать. Очевидно, имеются две возможности:
1) ¦ =—^ ф 0- Этот случай соответствует распаду на два возбуждения, распространяющихся в направлении вектора р с одинаковой скоростью v = -^-. При
