Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
этом возможны два случая. Во-первых, одно из возбуждений может иметь импульс, сколь угодно близкий к нулю. Это соответствует случаю, когда в точке рс скорость возбуждения сравнивается со скоростью звука с и возбуждение может родить фонон (случай а). Во-вторых, оба родившихся возбуждения могут иметь конечный импульс (случай б).
оч ot(q) ди(р — q)
2) —-^- = 0; — dp =0. Для этого нужно, чтобы
каждое из возбуждений рождалось с импульсом, равным р0, при котором энергия возбуждений є (р) минимальна. Для жидкого гелия такая точка на спектре соответствует 306
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
значению P0 = 2-10 іа гсм/сек. В окрестности этой точки спектр S (р) имеет так называемый ротонный вид:
в(р) = Л + (|^~/°)2 (|/>| —/?0|<С А>)- (26.2)
Если se = 2Д, возбуждение распадается на два ротона с импульсами q и qv причем \q\, \qx\=p0 и є(q), S(Qr1) = A. Угол 6, под которым вылетают оба ротона, определяется из того условия, чтобы сумма их импульсов равнялась рс (случай ?). Тремя перечисленными случаями исчерпываются все типы порогов распада на два возбуждения.
2. Система уравнений. Для исследования вида спектра вблизи пороговой точки воспользуемся изложенными выше методами квантовой теории поля, т. е. будем искать вид гриновской функции вблизи точки окончания спектра, поскольку сам спектр определяется полюсами функции Грина. Физически
Рис. 78.
очевидно, что особенности функции Грина связаны с такими диаграммами, в которых одна линия раздваивается, изображая графически процесс распада возбуждения на два. Рассмотрим, например, графики, изображенные на рис. 78. В этих графиках фигурируют различные функции Грина G', О и О. Каждая из петель на этом графике представляет собой собственно энергетическую часть, характеризующуюся тем, что она состоит из двух тройных вершин (если считать только число надконденсатных концов), соединенных двумя сплошным', линиями. Соответствующий интеграл для такой петли есть:
f dw'dqG(q)G(p-q)Tl Г2, (26.3)
где функции G могут означать любую из трех функций Грина G', G или G, a T1, Г2 суть вершины, стоящие справа и слева на этих диаграммах. Предположим, что значения шир для § 26] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ОКОНЧАНИЯ 307
внешних концов лежат вблизи полюса ш = е(р) (выше мы показали, что полюсы всех трех функций Грина совпадают). Особенность интеграла (26.3), если она существует, связана с областью интегрирования по со' и q, в которой функции О (q) и G (р— q) находятся вблизи своего полюса. Согласно (24.10), (24.12) и (24.14), вблизи полюсов обе функции выглядят следующим образом:
G (q) = -А.х. , ... или А
(.V — с I л\ _L_ i7\
O(p-q)--
B1
> — с»' — ? (p — q) + /8 или -
»4-?(p — q)-
(26.4)
в зависимости от того, около положительного или отрицательного полюса рассматриваем каждую функцию. Подставив эти выражения в (26.3), мы видим, что интерес для нас представляют перекрестные члены вида A1B1. В этих членах интегрирование по ш' можно произвести в пределах от —оо до —)— оо, после чего остающийся интеграл по q в некоторой области значений q имеет вид
/
-ГАbABdq__(26 5)
е (<7) + ^ (р — q) — <
Особенности последнего интеграла связаны с тем, обращается ли при каких бы то ни было значениях q в нуль знаменатель подынтегрального выражения. При ш < в (рс), согласно произведенному выше анализу, знаменатель всегда больше нуля; при w = e(pc) впервые обращается в бесконечность подынтегральное выражение (26.5), а поэтому точка ш = в(рс) является особой в математическом смысле слова точкой для рассматриваемого интеграла. Характер этой особенности определяется, таким образом, одними только аналитическими свойствами функций Грина и не зависит от того, какой конкретно график для собственно энергетической части мы выбрали из графиков рис. 78. Последнее обстоятельство позволяет существенно упростить дальнейшее рассмотрение. Действительно, для определения характера особенности, как мы только что показали, нужны выражения функций Грина вблизи полюса. Вблизи полюса все три функции 308 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Грииа имеют одинаковый вид. Поэтому, если мы не интересуемся конкретной величиной регулярных членов и различными несущественными коэффициентами, поскольку диаграммы для всех трех функций Грина являются одинаковыми по своей структуре, мы можем не делать различия между функциями G', G и G вблизи их полюсов. Сложим, например, уравнения (24.2) и введем некоторую новую функцию G1 (р) = = G' (р) -\-G (р). Для функции G1(P) получим следующее уравнение:
G1 (р) = G(°) (р) + G(°) (р) [S11 (р) + S20 (р)] G1 (р).
Разделим всю совокупность собственно энергетических частей S = S11 +S20 на диаграммы, не имеющие особенностей
SfpJ ?""fpj y^^?fflj
Gfp-fJ
Рис. 79.
в точке ш = єс (S0), и диаграммы S1, имеющие особенности, которые графически имеют вид, изображенный на рис. 78. Введем функцию G^ (р) следующим образом:
G^ (P) =-^=T-1-•
G (Р)-Ъ(Р)
Тогда остающееся уравнение может быть написано в виде уравнения Дайсона, схематически представленного на рис. 79. Поскольку характер особенности определяется видом всех функций Грина в точке полюса, где они отличаются друг от друга только коэффициентами, заменим все внутренние линии G', G или G на G1. Слева в петле стоит некоторая «затравочная» вершина Г<°), представляющая собой, с точки зрения общей техники, результат взаимодействия трех надконденсатных частиц с частицами конденсата (как, например, на графиках рис. 78), справа имеется Г — тройная вершина, получающаяся из Г'0) в результате взаимодействия выходящих из нее линий.
