Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Полный гамильтониан системы будем писать в виде
H= H0 + Hini,
где
1
wO-
J Vff(Je)V^(X) dr,
a Hlnt—гамильтониан взаимодействия, вид которого мы пока не конкретизируем. Все известные соотношения теории поля, связывающие операторы в гайзенберговском представлении и в представлении взаимодействия с помощью§ 23] применение методов теории поля при T= О " 265
б'-матрицы, остаются в силе, так же как и само определение ^-матрицы:
5 = Tехр { - / J Hint (X) d*x }. (23.2)
Одночастинная функция Грина О (х, х') определяется через операторы в гайзенберговском представлении
0(х -— х') = — і (Т($(х) (*') )> (23.3)
и в представлении взаимодействия
0(х — xr) = — '(T (HVgVA (23.30
(средние в формулах подразумеваются по основному состоянию N взаимодействующих частиц в (23.3) и по основному состоянию N невзаимодействующих частиц в (23.3')). Оказывается удобным вместо (23.3) рассматривать две части функции Грина О (х — х'):
G' = -і{Щ> (X), Г- (*'))> = .
(23.4)
O.« - г)_- «г( w. IUn))=г S)).
(23.5)
Or (х — х') есть функция Грина «надконденсатных» частиц; G0 (t — t') — функция Грина частиц конденсата. Очевидно, G0 (t — t') не зависит от разности пространственных координат и может поэтому быть определена как компонента Фурье с нулевым импульсом от полной функции Грина
0Q(t — t') = J G(r — r', t — t')dr'.
Плотность числа частиц, находящихся в конденсате, равна, n0=i G0(* — *'). t' = t-ьо.
Что же касается плотности полного числа частиц, она всегда266 система взаимодействующих бозе-частиц [гл. v
равна
п=п' + n0=i(G'(0,t — t') + G0(t — t')), <'==< + 0.(23.6)
В соответствии с § 4 отметим еще раз то обстоятельство, что при наличии взаимодействия число частиц в конденсате отлично от полного числа частиц.
Перейдем теперь непосредственно к построению диаграммной техники теории возмущений для взаимодействующих частиц. В соответствий с особой ролью, которую играют частицы конденсата, будем считать, что в выражении для гамильтониана Hint произведена подстановка (23.1) и Hini приведен к виду, в котором фигурируют отдельно
операторы I0 и J0", <]/ и <{/+. Аналогично будем считать, что в определении 5-матрицы (23.2) подразумевается Hint(X) именно в такой форме. Наше последующее изложение применимо для гамильтониана Нш(х), имеющего вид произведения любого числа операторов <|> и с произвольным законом взаимодействия между частицами.
После указанного разделения операции хронологического упорядочения T и взятия среднего по основному состоянию невзаимодействующих частиц можно представить каждую в виде двух последовательных операций, отдельно по отношению к частицам в конденсате и к надконденсатным частицам:
T=V-T', (...) = ((...)')°. (23.7)
где T0 и (...)° применяются к операторам J0 и J0". Разложение 5-матрицы по степеням взаимодействия содержит в каждом члене набор различных произведений операторов J0, J0", ф' и Что касается свободных операторов
ф' и <j/+, то применительно к ним можно пользоваться обычной теоремой Вика, поскольку средние от нормальных произведений надконденсатных частиц равны нулю. Хроно-
логизированные попарные средние от которые мы
обозначим как G(°\x — л:'), отличны от нуля и равны
О(0) (х — X') = — і (Г (<|/ (х) f+ (*'))>' =
(X) f+(*'))>• (23,8)§ 23] применение методов теории поля при T= О "
267
Соответствующие компоненты Фурье имеют вид
0<°> (х _ х0 = (2W) -4 J 0(°) (/>) eip (х-х,) CliP,
о(0)(Р) =-і
(23.9)
Поэтому, если рассматривать операторы E0 и как некоторые параметры (числовые), они играли бы роль внешнего поля в различных вершинах диаграмм.
Рассмотрим вопрос о вычислении функции Грина для произвольного числа надконденсатных частиц. Функция Грина имеет вид
°п(хі - • -хп> x'i-- -хп) =
__ (-0" (*' (х,) .. - ф' (хп); ф' + (Z1) ... 4/+ (х'п) S)>
(S)
(23.10)
Разобьем операции T и (...) на операции T', T0 и (...)', (...)°, согласно (23.7), и сначала изучим ряд теории возмущений для величины
Qn (X1... хп; х[...х'п) = (- l)n (T' (<[»' (X1). . . ф' (*„);
ф'+(х;)...ф'+(х;)5)у. (23.li)
Поскольку операции T' и (...)' не затрагивают операторов E0 и Eo", последние относительно этих операций представляют собой параметры, никак не влияющие на хронологизацию и усреднение различных произведений операторов надконденсатных частиц. Поэтому соответствующий матричный элемент может быть написан по обычным правилам построения файнмановских диаграмм и содержит произведения хронологических средних (23.8) и степеней операторов E0 и Ео~- Число последних в данном порядке разложения 5-матрицы по степеням Hint зависит от вида гамильтониана взаимодействия Hint и от выбора тех или иных членов в Hint после подстановки (23.1). Например, взаимодействие (см. 25)
"ш = і J (*) (*') ^ (Г — г') ф (X') ф (X) dr dr' (23.12)268 система взаимодействующих бозе-частиц [гл. v
после подстановки
распадается на восемь членов, начиная с члена четвертой степени по J0 и Jo" : Y (^)2 (?)2 f U (r) dr, и кончая членом