Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 26

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 129 >> Следующая


со

Dik. «) = /я(*. ?)(-^-^4-^. (7.29) о

Мнимая часть этой функции всегда отрицательна

Im D(ft, (o) = — uP(k, І ш I). (7.30)

Связь действительной и мнимой частей выражается тем же соотношением, что и у функции О (р, є). Отсюда следует, что аналитические свойства фононной гриновской функции такие же, как и у гриновской функции системы ферми-частиц с Ji = O.

Поэтому можно построить две аналитические функции Dr и Da, удовлетворяющие условиям (7.25) с jt = 0. В координатном представлении эти функции имеют вид

Dr(*-*') = { 0, t<t>.

DA(x — x') =

О, t > V,

(7.31)

3. Физический смысл полюсов. Как уже было отмечено, знание функции Грина дает возможность найти целый ряд физических характеристик системы. В частности, из нее можно определить спектр элементарных возбуждений.

Рассмотрим ферми-систему, которая в начальный момент времени t' описывается волновой функцией

V0 (0 = Ф+(Лф/(0. (7-32)

где ф+ (/') — оператор рождения частицы с импульсом р в представлении взаимодействия, т. е. а+еи«(р)'', а Фг(^')— волновая функция основного состояния системы частиц в представлении взаимодействия. В момент t > f волновая функция системы будет иметь вид

ЧГ(0 = 5(Л ГЩ(Г) ФДО- 86-

МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II

Найдем амплитуду вероятности состояния W0 (t). Она равна

(WS it) w (/)) - <фі (t) <jv it) s (t, t') ф+ (t>) ф, (t')) =

= (ф°л5-1 (0 (t) S (t, V) ty+p (t') S {t') фя) = = (MO^tfO) = «?(/». і — *'), t — t'> 0. (7.33)

Здесь был произведен переход от представления взаимодействия к гайзенберговскому представлению.

Для получения функции О (р, t) необходимо вычислить интеграл

со

Gip, t)= f ^ О (р. (7.34)

Ввиду того, что функция G (р, ш) не является аналитической, мы разобьем этот интеграл на две части: от —со до (1 и от (1 до оо. В первом инте-— грале G совпадает с аналитической функцией Ga, а во втором интеграле— с Gr. Как уже было отмечено

U)=/г

выше, функция Ga не имеет особен-Рис. 2. ностей в нижней полуплоскости. Поэтому в первом интеграле можно деформировать контур интегрирования (рис. 2). Если горизонтальный участок этого контура сдвинуть достаточно далеко в нижнюю полуплоскость, то вследствие множителя е~ы1 в (7.34) интеграл по этому участку будет очень мал и, Факим образом, ayV_

останется лишь



Пе-

1

OJ^S(JJ)-Iy

Рис. 3.

p.— ico

рейдем теперь ко второму интегралу. Функция Gr, вообще говоря, имеет особенности в нижней полуплоскости. Предположим, что в четвертом квадранте комплексной переменной (О-(X особенностью, ближайшей к действительной оси,

является простой полюс в точке ш = є(р) — if, причем (р) — (л. Деформируем контур интегрирования так, как показано на рис. 3. Горизонтальный участок этого контура, конечно, должен лежать выше следующей особенности § 7] гриновская функция 87

и не может быть сдвинут в —і оо. Однако, взяв достаточно большое время t, мы можем сделать этот интеграл малым. Таким образом, остается интеграл по вертикальному участку и обход вокруг полюса:

р.— і со

у lae-u Wt-Vt

V-

где а — вычет Gr в точке полюса. Ниже мы покажем, что при ^ [є (р) — |х]-1 оба интеграла по вертикальным участкам контуров на рис. 2 и 3 дают малый вклад. Таким образом, в пределе больших времен t мы получаем:

Ю{р, t) zu ае~ltWt-It. (7.35)

Если бы в начальном состоянии мы имели одну свободную частицу с импульсом р и энергией є (р), то величина, аналогичная (7.33), была бы равна е-<Ео(г>)('-П. Отсюда следует, что в состоянии (7.32) имеется волновой пакет, который ведет себя, как квазичастица с энергией є (р), и затухает со временем по закону С-''). Таким образом, энергия и затухание квазичастиц определяются вещественной и мнимой частями полюса функции Gr в нижней полуплоскости. Амплитуда волнового пакета связана с вычетом функции Gr в точке полюса.

Теперь покажем, что отброшенные нами части интегралов можно считать малыми в области импульсов, где є(р)яь^. Вспоминая, что Ga = Gr, находим сумму интегралов по вертикальным участкам контуров на рис. 2 и 3:

IJ- — І OO JJ.-(СО

/ (Oll-Qy.-'-? = 2*/ ІШайе-'«?.

їх її

Согласно феноменологическим соображениям, изложенным В § 2, условие 7<CIS(P)-Iі имеет место только в окрестности S(P)^ix1). Поэтому, считая -, можно

^Справедливость предположения о том, что у г (р) — [л при є (р) — (X -> 0, строго доказана для многих конкретных примеров (см., например, § 21 и 22). 88-

методы квантовой теории поля при T=O [гл. II

заменить Or на ^ _ ? ^ ^. Вводя новую переменную /(ш — |х) = и, получаем:

OO

2 ^ae-W Г due~at

27t J 72 + [e(p)_[, + /u]2 •

Поскольку t^>[s (р)— [Х]"1, то этот интеграл оказывается равным

^t [є (P) — M2

Если считать t не слишком большим по сравнению с 1/у, то эта величина значительно меньше, чем результат обхода полюса на рис. 3.

Аналогичные соображения могут быть развиты и для состояния с волновой функцией

ЧГо(0 = Фр(ОФДО. (7-36)

Рассматривая это состояние в более поздний момент времени t', мы получаем:

Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed