Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Гриновские функции однородных и бесконечных в пространстве систем при отсутствии внешних полей зависят лишь от разностей координат г — ґ и t — f. Разложим G в интеграл Фурье
Функцию G (р, ш) очень просто найти для системы невзаимодействующих частиц. В случае системы ферми-частиц, подставляя в (7.1) выражение (6.14) для гайзенберговских операторов свободного поля и учитывая, что все уровни с |/>1<Л) заполнены, а с |р\>р0 пусты, имеем:
Q(X-Xf)=J
(7.2)
(d4p = dp du>).
GW (x) = — yr el W '1
p
где
ti =CIpap =
1. \P\<Po-o, ipi > p0. § 7] гриновская функция 77
Перейдем к импульсному представлению. Согласи© (7.3) имеем:
/ OO
Gi-0Xp, ш) = — і' В(\р\ — P0) f e^'-^P^dt —
i
со \
— 9O0-Ij0I)/e-l^-*>mtdt\, (7
о J
где
f 1. 2> 0.
е (z) =
\ О, 2 < 0.
Выражение для G(p, <и) содержит два интеграла типа
со
J eistdt.
о
Определим интеграл такого типа как предел
OO
Iim / eist~udt = і lim _) . (7.5)
&->+oJ Й->+О « + го
Величина i8 в знаменателе характеризует способ обхода полюса S = O при интегрировании этой функции, а имение:
где j- означает главное значение интеграла. Таким образом
можно условно написать:
1 1
і тг8 (s).
О -р I W о
обозначения велич
символ 8+ (s)
Иногда для обозначения величины ---^r употребляют
Я S + /О
S-(s) = S(s)_-i--. (7.6) 78- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II
С помощью формул (7.4) и (7.5) получаем:
Q(O) (п m) = O(IPl-A) , 6 (Po — 1 P I )
Замечая, что все отличие формулы для О при \р\Кр0 от формулы при \р \ > P0 заключается только в изменении знака перед 8, мы можем написать окончательно:
Теперь рассмотрим систему фононов. Мы ограничимся простейшим случаем — продольными колебаниями в сплошной изотропной среде.
Прежде всего, определим, что мы будем подразумевать под операторами фононного поля.
Обозначим смещение точек среды посредством q(r, t). Импульс единицы объема будет равен рq(r, t), где р — плотность. Согласно квантовой механике, величины q и q заменяются операторами с правилами коммутации
P Mr. t\ qk(r', t)] = -tb(r—r')blk. (7.8)
Интеграл от формулы (7.8) по малому объему dr дает обычное правило коммутации координаты и импульса.
Разложим оператор q по плоским волнам. В данном случае задание волнового вектора k однозначно определяет частоту, которую мы обозначим через W0(й). Таким образом, имеем:
«г. O=^StIt +чи-"»-.«і}.
(7.9)
Мы рассматриваем продольные волны, а потому фурье-ком-поненты вектора q будут направлены вдоль волнового вектора k. Ввиду этого мы в дальнейшем будем пользоваться проекцией qk на направление k, которую обозначим посредством qk. § 7J гриновская функция
79
Введем теперь операторы bk, связанные с qk соотношением
"'=YWb- (7-,0>
Тогда из (7.8) следует, что операторы bk удовлетворяют обычным соотношениям коммутации для (юзевских операторов возникновения и уничтожения.
Оператор кинетической энергии колебаний равен
к = іI [i{r' t)]2dr- (7Л1)
Воспользовавшись тем, что при колебаниях средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии, можно получить формулу
Я=2К= + (7.12)
ь
где TIh = bibk-
В качестве операторов свободного фононного поля можно было бы принять операторы смещений q. Однако, более удобно определить их несколько иначе, имея в виду изучение взаимодействия фононов с электронами в металле (см. § 8), а именно:
? (JC) = -L ^yr ^ {'ЬкеПЬг-щ юп^ь+е-ііьг-^т]^
(7.13)
Эта формула относится к продольным фононам в модели Дебая (см. § 1), если ограничить суммирование по k условием Ik I< kD.
Подчеркнем еще раз, что операторы фононного поля действительны, поскольку они соответствуют действительным смещениям атомов решетки. Это свойство, очевидно, сохраняется и при учете взаимодействия фононов между собой и с другими частицами. 80- методы квантовой теории поля при T=O [гл. ii
Гриновская функция фононов обозначается обычно буквой D. Определение этой функции аналогично формуле (7.1)
D(x, x') = -i{T(?(x)~9(x'))). (7.14)
Подставляя сюда в качестве операторов <?(х) — свободные операторы (7.13) и учитывая, что в основном состоянии фононы отсутствуют, получаем:
Л<°> (Х) - _ JL У <">« <*> I е' lkr^ (k) t]• ' > ,7 . ^ Взяв фурье-компоненту этого выражения по г и t, получаем:
D<°>(fti (O) = ^ir--^7x1r--isr
»0 (*)
0 ' (7.16)
(О2 — (vfe) -f /5
2. Аналитические свойства. Рассмотрим теперь общие свойства гриновских функций систем взаимодействующих частиц. Начнем с ферми-системы. Переходя к шрединге-ровским операторам, получаем:
Q (Г —Г', t— t') = — i(eiHtty (Г) Є-ІН V-t')^+ (/¦') е-int') =
S
S
G (г — г', f — 0 = <<<'.
s'
Координатная зависимость матричных элементов флт(/") и ДЛЯ однородной системы имеет вид
<|»ят (г) = (0) е- 'W1 ^m (Г) = tytm (0) ЄІРпшг, гдеPnm=Pn—рт, а ра и Pm — импульс системы в состоя- § 7J гриновская функция 81
ниях п и tnl). Считая р0~ О, имеем: G (г - г', t - Г) = - і 21 фа, (0) I2 eips e~l < V*o) ('-О,
S
