Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 24

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 129 >> Следующая


Гриновские функции однородных и бесконечных в пространстве систем при отсутствии внешних полей зависят лишь от разностей координат г — ґ и t — f. Разложим G в интеграл Фурье

Функцию G (р, ш) очень просто найти для системы невзаимодействующих частиц. В случае системы ферми-частиц, подставляя в (7.1) выражение (6.14) для гайзенберговских операторов свободного поля и учитывая, что все уровни с |/>1<Л) заполнены, а с |р\>р0 пусты, имеем:

Q(X-Xf)=J



(7.2)

(d4p = dp du>).

GW (x) = — yr el W '1

p

где

ti =CIpap =

1. \P\<Po-o, ipi > p0. § 7] гриновская функция 77

Перейдем к импульсному представлению. Согласи© (7.3) имеем:

/ OO

Gi-0Xp, ш) = — і' В(\р\ — P0) f e^'-^P^dt —

i

со \

— 9O0-Ij0I)/e-l^-*>mtdt\, (7

о J

где

f 1. 2> 0.

е (z) =

\ О, 2 < 0.

Выражение для G(p, <и) содержит два интеграла типа

со

J eistdt.

о

Определим интеграл такого типа как предел

OO

Iim / eist~udt = і lim _) . (7.5)

&->+oJ Й->+О « + го

Величина i8 в знаменателе характеризует способ обхода полюса S = O при интегрировании этой функции, а имение:

где j- означает главное значение интеграла. Таким образом

можно условно написать:

1 1

і тг8 (s).

О -р I W о

обозначения велич

символ 8+ (s)

Иногда для обозначения величины ---^r употребляют

Я S + /О

S-(s) = S(s)_-i--. (7.6) 78- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II

С помощью формул (7.4) и (7.5) получаем:

Q(O) (п m) = O(IPl-A) , 6 (Po — 1 P I )

Замечая, что все отличие формулы для О при \р\Кр0 от формулы при \р \ > P0 заключается только в изменении знака перед 8, мы можем написать окончательно:

Теперь рассмотрим систему фононов. Мы ограничимся простейшим случаем — продольными колебаниями в сплошной изотропной среде.

Прежде всего, определим, что мы будем подразумевать под операторами фононного поля.

Обозначим смещение точек среды посредством q(r, t). Импульс единицы объема будет равен рq(r, t), где р — плотность. Согласно квантовой механике, величины q и q заменяются операторами с правилами коммутации

P Mr. t\ qk(r', t)] = -tb(r—r')blk. (7.8)

Интеграл от формулы (7.8) по малому объему dr дает обычное правило коммутации координаты и импульса.

Разложим оператор q по плоским волнам. В данном случае задание волнового вектора k однозначно определяет частоту, которую мы обозначим через W0(й). Таким образом, имеем:

«г. O=^StIt +чи-"»-.«і}.

(7.9)

Мы рассматриваем продольные волны, а потому фурье-ком-поненты вектора q будут направлены вдоль волнового вектора k. Ввиду этого мы в дальнейшем будем пользоваться проекцией qk на направление k, которую обозначим посредством qk. § 7J гриновская функция

79

Введем теперь операторы bk, связанные с qk соотношением

"'=YWb- (7-,0>

Тогда из (7.8) следует, что операторы bk удовлетворяют обычным соотношениям коммутации для (юзевских операторов возникновения и уничтожения.

Оператор кинетической энергии колебаний равен

к = іI [i{r' t)]2dr- (7Л1)

Воспользовавшись тем, что при колебаниях средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии, можно получить формулу

Я=2К= + (7.12)

ь

где TIh = bibk-

В качестве операторов свободного фононного поля можно было бы принять операторы смещений q. Однако, более удобно определить их несколько иначе, имея в виду изучение взаимодействия фононов с электронами в металле (см. § 8), а именно:

? (JC) = -L ^yr ^ {'ЬкеПЬг-щ юп^ь+е-ііьг-^т]^

(7.13)

Эта формула относится к продольным фононам в модели Дебая (см. § 1), если ограничить суммирование по k условием Ik I< kD.

Подчеркнем еще раз, что операторы фононного поля действительны, поскольку они соответствуют действительным смещениям атомов решетки. Это свойство, очевидно, сохраняется и при учете взаимодействия фононов между собой и с другими частицами. 80- методы квантовой теории поля при T=O [гл. ii

Гриновская функция фононов обозначается обычно буквой D. Определение этой функции аналогично формуле (7.1)

D(x, x') = -i{T(?(x)~9(x'))). (7.14)

Подставляя сюда в качестве операторов <?(х) — свободные операторы (7.13) и учитывая, что в основном состоянии фононы отсутствуют, получаем:

Л<°> (Х) - _ JL У <">« <*> I е' lkr^ (k) t]• ' > ,7 . ^ Взяв фурье-компоненту этого выражения по г и t, получаем:

D<°>(fti (O) = ^ir--^7x1r--isr

»0 (*)

0 ' (7.16)

(О2 — (vfe) -f /5

2. Аналитические свойства. Рассмотрим теперь общие свойства гриновских функций систем взаимодействующих частиц. Начнем с ферми-системы. Переходя к шрединге-ровским операторам, получаем:

Q (Г —Г', t— t') = — i(eiHtty (Г) Є-ІН V-t')^+ (/¦') е-int') =

S

S

G (г — г', f — 0 = <<<'.

s'

Координатная зависимость матричных элементов флт(/") и ДЛЯ однородной системы имеет вид

<|»ят (г) = (0) е- 'W1 ^m (Г) = tytm (0) ЄІРпшг, гдеPnm=Pn—рт, а ра и Pm — импульс системы в состоя- § 7J гриновская функция 81

ниях п и tnl). Считая р0~ О, имеем: G (г - г', t - Г) = - і 21 фа, (0) I2 eips e~l < V*o) ('-О,

S
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed