Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
t>t',
о (г _ г/, t - о=г S і фі>0 (O)I2 ег (?'-?
(7.17)
Оператор ф+ (г) увеличивает число частиц на единицу. Ввиду этого суммирование по s при t > f происходит по состояниям с числом частиц N-1-1. Наоборот, суммирование по s' при t < Z' происходит по состояниям с числом частиц N—1. Введем обозначения
Es-E0(N) = Es + ^, (7.18)
где
Bs = Es-E0(N+l) (7.19)
— энергия возбуждения системы, которая по определению положительна, а = E0(NI)— E0(N) — химический потенциал при T= 0. Аналогичным образом
Es,-E0(N) = Es.-E0(N-I)—
-[E0(N)-E0(N-I)] = Bs.-^. (7.18')
Величины Ss' И fj/ в последней формуле относятся к системе из N—1 частиц. Можно, однако, считать, что Ss = Bs., (A = Jj,'. Это вносит погрешность лишь порядка 1 /N. Далее, введем функции
Л (р, Е)dE = (2u)321 фа»(0) I2 8 (р-ps), E<Bs<E+dE,
S
В(р, Е) dE = (2тт)3 2 I Ivo(0) I2 § (/> -\~PS), E < es> < E ±dE.
__(7.20)
') Это следует из того, что согласно квантовой механике (см. [15], стр. 58), оператор пространственного переноса равен е1рг (р — оператор импульса). Следовательно, ф (г) = e~lpr<\i (0) е1рт.
Отметим кстати, чго если выразигь ф (г) в виде ф (г) = —L ^P1 a е рг
Y у ** р '
то, очевидно, получится флпг (0) = — («- pnm)nm. 82- методы квантовой теории поля при T=O [гл. ii
Разложим теперь функцию G в интеграл Фурье 1^-
OO
.) = /^(^? + ^?}. С7.21,
Коэффициенты А и В в этой формуле действительны и положительны. С помощью представления (7.21) можно исследовать аналитические свойства функции G (р, ш).
Выделяя действительную и мнимую части функции G, находим:
со
*<,(,. .0-^,4?? + ,???}. (7.22)
О
— кА (р, и>—и.), ш > и,,
О, ч (7-23)
яв(р, p-<и), cu < ja
j- означает главное значение интеграла^. Таким образом,
мнимая часть гриновской функции меняет знак при ш = jj.. Сравнивая (7.23) и (7.22), можно найти следующее соотношение, связывающее между собой действительную и мнимую части:
ReG (р, (O) = I fImG(P' (7.24)
— со
Из формул (7.21) и (7.20) можно получить асимптотическую формулу для G при <и->оо:
О (p. n)->±fdElA(p. Е) + В(р, E)] =
I fe (O) I2 8 (/;-/>,)+
+ (203 2 I ^'о(0)|2 8 (P+Ps0
S'
') Формула такого типа была впервые получена Леманом [27] в квантовой теории поля. § 7J ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ
83
Нетрудно увидеть, что коэффициент при 1/(0 равен фурье-ксмпоненте от антикоммутатора
Ф С) СО + (г') ф (г) = S (г — г'),
т. е. единице. Для этого достаточно усреднить антикоммутатор по основному состоянию (отчего его значение не изменится), преобразовать полученное среднее аналогично формуле (7.17) и взять фурье-компоненту по г — г'. Таким образом, получаем:
G(p, ш)—при ш->со. (7.21')
Выясним свойства G как функции комплексной переменной со. Из формулы (7.24) следует, что функция G(p, ш) не является аналитической. У функции, аналитичной в верхней полуплоскости, связь между действительной и мнимой частями выражается соотношением, отличающимся от (7.24) заменой sign(io' — [).) на единицу. У функции, аналитичной В нижней полуплоскости, вместо sign(o)'-fJ.) стоит —1.
Рассмотрим наряду с G две функции Gr и Ga, анали-тичные, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях, определив их соотношениями (при вещественных ш)
Re G = Re Gr = Re Ga, Im Gr= Im G sign (ш — [х), (7.25)
Im Ga = — ImG sign (со — [х).
Из (7.25) следует, что на действительной полуоси ш — [х < О Gr совпадает с О*; соответственно, Ga совпадает с G* при ш — (л > 0. Таким образом, мы можем написать:
f G (р, со), ш>р, ( G*(p, ш), ш>ц, (7,25)
0^ "И О (р. «о). «о<,.
Из (7.25') следует, что Gr является аналитическим продолжением О с полуоси W > [л, a Ga — продолжением О с полуоси 0) < (X. О при />/',
: <ф+ (лг'> ф (лг) -+-ф (дг) (лг')> при t<t'.
84- методы квантовой теории поля при T=O [гл. ii
В координатном представлении функции Gr и Ga определяются следующим образом:
J —*($(*)$+(*')+ ?+(*0?(*)> при />/'.
Gp (х—х ) = і п .si,
R 4 ' [ 0 при t Ct',
Од (*-*') = {
(7.26)
Действительно, проделывая те же операции, какие применялись при выводе (7.21), получаем:
OO
о*.
о
GA(p, w) = G*k(p, (о).
Сравнивая действительную и мнимую части Gr и Ga с формулами (7.22) и (7.23), легко увидеть, что эти функции удовлетворяют соотношениям (7.25). Функции Gr и Ga называют запаздывающей и опережающей гриновскими функциями.
Теперь перейдем к фононам. Оператор поля фононов действителен, т. е. ср (х) = х(х) + х+ (•*¦)• Кроме того, надо учесть, что химический потенциал |Х = 0 (см. § 1) и в основном состоянии частицы отсутствуют. Аналогично предыдущему находим:
D (г-г', t—t') =
-'21 Xos(O)I2(<_<V** (r~r,), t > t>,
s (7.28)
- і 2 I Xos (O) I2 (<_< V ik° (r-r'>, t < f.
S
Введем функцию
P (k, E) dE = (2it)3 2 I Xoi (O) I2 8 (k - ks) =
= (2*)3 2 I Xo,(0)|2S(A+As). і
где суммирование по s относится к таким состояниям, энергия которых Es находится в пределах E < Es — E0 < E-\-dE. § 7] гриновская функция 85
Разлагая (7.28) в интеграл Фурье, получаем:
