Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в (6.29) порядок времен таков, что
t > t' > t" > ...
Перейдем к операторам в представлении взаимодействия по формуле (6.28). При этом получим:
<Ф°; S-1 (t) A (t) S (t) S'1 (Г) В (Г) S (Ґ) ... Ф%) =
= (ФяS-1 (со)5(оо, t)A(t)S(t, t')B(t') ... Ф°н) =
= (Ф°я5-1 (оо) ПА (t) В (<') C(t") ... S (со)] Ф°я>.
(6.30)
Очевидно, что преобразование (6.29) к виду (6.30) не зависит от порядка времен t, t', t", т. е. справедливо в любом случае.
Теперь нам остается определить величину Фя S-1 (оо) = = [5(оо)ФяГ, т. е. результат действия оператора S(oo) на функцию основного состояния.. Из (6.20) и (6.25) следует:
Фя = ФД—оо), 5 (оо) Фя = Ф{ (°о).
Таким образом, S (оо) Фя представляет собой функцию ФДоо), которая получилась из функции основного состояния Ф4 (— оо) 74- методы квантовой теории поля при T=O [гл. II
в результате адиабатического включения взаимодействия между частицами. Как известно, основное состояние системы, т. е. состояние, в котором энергия минимальна, обязательно невырождено. Но, согласно общим принципам квантовой механики (см. [15], стр. 173), система, находящаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии, не может перейти в другое состояние под влиянием бесконечно медленного возмущения. Следовательно, мы приходим к выводу, что функция ФДсо) = S(oo)®^ может отличаться от Фя только фазовым множителем
5 (оо) Фя = eiL Фя- (6.31)
Отсюда следует окончательное соотношение
'-Я T[A(t) В (t') С (t") ...] Фя) =
_ я T [А (/) В (t') С (t") ... S (СО)] ф»и)
<*%s(°°)*%> • ( }
Подчеркнем, что это заключение справедливо только для усреднения по основному состоянию системы, так как любой другой уровень энергии системы многократно вырожден, и в результате столкновений между частицами система переходит, вообще говоря, в другое состояние. Таким образом, при усреднении по возбужденному состоянию справедлива формула (6.30), но не (6.32).
В этой главе мы будем рассматривать системы при T= 0, т. е. в основном состоянии. Для простоты мы будем обозначать соответствующие средние просто как (...) и операторы в представлении взаимодействия писать обычным шрифтом. Там, где будут нужны шредингеровские операторы, мы будем подчеркивать их зависимость только от координат (например, ф(г)) и особо оговорим эти случаи.
§ 7. Гриновская функция1)
1. Определение. Гриновские функции свободных частиц. Одной из наиболее существенных величин, характеризующих в технике квантовой теории поля микроскопические свойства системы, является одночастичная функция
') Этот параграф в значительной части написан по материалам работы В. М. Галицкого и А. Б. Мигдала [26]. § 7J ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ
75
Грина1). Она определяется как
Ga9(X, х') = — і(П\(х)^(х'))).
(7.1)
Под X (или х') понимается совокупность четырех переменных — координаты г и времени t\ а и ? — спиновые индексы.
Знание гриновской функции дает возможность вычислить среднее значение по основному состоянию для любого одно-частичного оператора типа (3.2). Действительно, согласно формуле (6.3), имеем:
FW
Iim t'-*t to .г'-* г
(X) Oa,, (X, х'У
dr
(знак плюс для статистики Бозе, минус — для статистики Ферми). Например, плотность числа частиц и плотность потока частиц равны, соответственно,
n(x)=±i lim О (х, х'), f-*t+ о
j(x)=±~ lim (Vr — Vr,)Gaa(x,x 0. т t'-*t+о
r'->r
Ниже мы покажем, что с помощью гриновской функции можно найти энергию как функцию объема, а следовательно, и уравнение состояния системы (зависимость давления от плотности) при T= 0. Кроме того, будет показано, что полюсы амплитуды Фурье гриновской функции (7.1) определяют спектр возбуждений. Это дает возможность найти термодинамические функции системы при температурах, отличных от нуля (но, конечно, достаточно низких).
') Термин «функция Грина» имеет в теории поля не тот смысл, что в теории линейных уравнений. Хотя гриновская функция удовлетворяет уравнению, в правой части которого стоит 5-функция, но уравнение это в общем случае нелинейное (см. § 10). Исключение представляют гриновские функции свободных частиц, которые действительно являются функциями Грина линейных уравнений для гайзенберговских операторов поля ф (г, t). Термин «гриновская функция», первоначально применявшийся только в этом случае, был впоследствии перенесен на выражение (7.1) для любой взаимодействующей системы. 76-
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II
Очень большое значение имеет и то обстоятельство, ЧТО гриновскую функцию можно вычислять с помощью так называемой диаграммной техники (см. § 8 и 9), которая обладает значительными преимуществами перед теорией возмущений в обычной форме.
В этом параграфе мы займемся анализом общих свойств гриновской функции. При этом мы для простоты обозначений будем опускать индексы а, ?. Это не приводит к ошибкам, так как при отсутствии ферромагнетизма и внешнего магнитного поля Gnp должна иметь вид Ga^ = Goa^. Мы ограничимся здесь только этим случаем.
В данной главе мы рассмотрим свойства систем ферми-частиц, поскольку, как известно, бозе-система при абсолютном нуле обладает рядом существенных особенностей, связанных с наличием конденсата (бозе-системы будут рассмотрены в гл. V). Исключение составляют фононы — кванты колебаний твердого тела. Ввиду того, что число их не задано, конденсация в фононном газе не наступает и его свойства можно рассматривать обычными методами.
