Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
о-» +0 о-> О
лируем теперь правила, по которым производится вычисление поправки произвольного порядка.
1) Изображаются все топологически неэквивалентные диаграммы с 2п вершинами и двумя внешними концами. В каждой вершине соединяются две сплошные и одна волнистая линии.
2) Каждой сплошной линии сопоставляется гриновская функция G(a?(x,~ х') (х, а—координаты начала линии, х', ? — координаты конца).
3) Каждой волнистой линии сопоставляется потенциал V (x~x')=U (г — г') 8 (t — t').
4) Производится интегрирование по координатам всех вершин (d4x = dr dt), суммирование — по всем внутренним спиновым переменным а.
п F
5) Полученное выражение умножается на і (—1) , где F — количество замкнутых петель.§ 9] правила построения диаграмм" 105
6) Если в выражении встречаются функции 0<°) от нулевого временного аргумента, то их надо понимать как предел G(0K-O).
Рассмотрим, например, поправку второго порядка. Соответствующие топологически неэквивалентные связанные диаграммы изображены на рис. 8.
Согласно сформулированным правилам, соответствующие аналитические выражения имеют вид
— J ^tX1 CiiX2 CiiX3 dix4G(^l (х — X1) G^2 (х, — х2) X
X -X') G^3 (0) G^1 (0) V (X1 — х3) V (х2~ х4), а)
- f CiiXl . . . d iXiGa-Jl (X - X1) Gt-X (X1 - х2) G^3 (х2 - х3) X
X G^4 (х3 — х4) 0$ (х4 — *') 1/ (X1 — х2) 1/ (х3 — х4), б) -f- J dl X1 ... d4 X4GiaJl (х — X1) G(r% (X1 — х2) G^, (х2 — х3) X X 0? (х3 - X') GZ (0) V (X1 - х4) V (х2 - х3), в)
+ J dix1 ... dixiG(al (х — xi) (xi — хг) 0S, (х2 ~ хз) X
X 0? (х3 - X') G^4 (0) V (X1 - х2) V (х3 - х4), г)
- J d'xx .. . dlX4Gal (х - xi) (xi - х') °№ (*2 - хз) X
X Grl (*з - Ой. (0) V (X1 - х2) V (х3 - х4), д) + f Sx1 ... Jx4Oll (х — xi) °г?Э (xi — х') 0Z (х2 — хз> X X 0?, (х3 — х4) 0<°>2 (х4 — х2) 1/ (X1 — х2) V (х3 - х4), е) -f J ^4X1 . . . dxx4G% (х — X1) G^2 (х, — х2) G^3 (х2 — х3) X X 0? (X3 - X') 0<°>4 (0) V (X1 - X3) V (х2 - х4), Ж)
— J dix1 ... dix4G«°> (х — X1) G<°>2 (X1 — х2) G^3 (х2 — х3) X X (х3 - х4) 0? (х4 — x/)V(x1 — х4) 1/ (х2 - х3), з)
J" ^ xi • ¦ ¦ d X4Ga-Jl (х X1) Gy1Y2 (Xj х2) Gy2|3 (X2 х3) X
X 0?, (х3 - х4) 0? (х4 - X') V (X1 - х3) V (X2 - х4), и) + f d4Xl . .. d4X4Gl01?, (X — X1) G^2 (X1 - х2) 0? (х2 - ?) X
X O^4 (х3 — х4) G<°>, (x4 — x3) V (X1 — x3) V (x2 — х4). к)106-
методы квантовой теории поля при T=O [гл. II
Для случая двухчастичного взаимодействия теорию возмущений можно представить в несколько другой, более симметричной форме. Она оказывается удобнее, когда взаимодействие зависит от спинов. Гамильтониан такого взаимодействия имеет вид
H
4/сос2)^c--^w2)^соrfrIrfr2- о-!)
Интеграл J Hintdt, входящий в оператор S1 мы представим-в виде, симметричном по всем переменным,
/ Hlnt M =
=4 / • • • / rf4xI • • • dtxK (*») 'К (**) tZ. № Хл)х
хы*4)<м*8)- <9-2)
Ввиду антикоммутативности ф-операторов Г*0) можно считать антисимметричной функцией относительно перестановок
в/ ej
0J ej v^Ky 3J UJ KJ
jc1-jj ^t x2j2 или x3f3<ix4f4. Функция Г(0) может быть получена из величины
иьь. ьь (rI — rl) s (-tI — к) 8 (xi — хъ) 8 (х2 — хд
вычитанием аналогичного выражения с переставленными аргументами 3 и 41). Вычислим поправку первого порядка
') При такой записи, со знаком «плюс» берется член, соответствующий «переходу» -Ar1Y1 JT3Y3, л2'(2 Xi-Jt (ср. с (9.1)). Это необходимо помнить при определении знака диаграмм (см. ниже).§ 9] правила построения диаграмм" 105
в гриновской функции:
SG(1) = — ^ J Ci4Xl ... /x4r(T7T:,№(xi*2. X3X4) X-
X <т(фв (х) фэ+ (X') (X1) (X2) фї4 (X4) (X3)) ) (в символе усреднения (...) мы везде будем опускать индекс связности). Ввиду антисимметрии Г(0) относительно своих аргументов мы получаем отсюда один член
і J CiiXl d4x2 d4xu Ci4X4Gayl (х — X1) GiZ (х3 — х2) X
X (X4 х') 1 у'Ї2; y5f,(x1x2; X3X4).
Величину Г(0) будем обозначать на диаграммах светлым квадратом. Таким образом, диаграмма первого порядка имеет вид, изображенный на рис. 9.
M
a; J;
Рис. 9. Рис. 10.
Во втором приближении имеется всего три связанные и топологически различные диаграммы (рис. 10). Соответствующие выражения равны
— f Cl4Xl ... /х80<°', (X - X1) 0? (X3 - X') Gfl (X4 - х5) X
X Ojrj2 (х7 х2) оЦ6 (х8 х6) Г«)2, TsT< (X1X2, X3X4) X
X № (X5X6, X7X8), а)
— f Ci4Xl ... d4x8G<°>, (X — X1) 0?, (X3 - X5) G<°) (X7 — х') X
X (х4 х2) 0Ц6 (х8 х6) № (X1X2, х3х4) X
X ГЦ„ Т718(хях6, X7X8) б)
— jf d\ • ¦ ¦ d4XsG^l (х — X1) G^5 (х3 — х5) X
X G^2 (х7 - х2) 0? (X8-X') G^e (х4 - х6) X
X № (X1X2, X3X4) № (х5х6, X7X8). Отметим, что последнее слагаемое содержит множитель 1J2.108- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II
Вычисление поправок «-го порядка производится так:
1) Изображаются все топологически неэквивалентные диаграммы (в данном случае все диаграммы, получающиеся перестановкой вершин четырехугольника, топологически эквивалентны).
2) Каждой линии сопоставляется гриновская функция
3) Каждому четырехугольнику сопоставляется функция