Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 32

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 129 >> Следующая


о-» +0 о-> О

лируем теперь правила, по которым производится вычисление поправки произвольного порядка.

1) Изображаются все топологически неэквивалентные диаграммы с 2п вершинами и двумя внешними концами. В каждой вершине соединяются две сплошные и одна волнистая линии.

2) Каждой сплошной линии сопоставляется гриновская функция G(a?(x,~ х') (х, а—координаты начала линии, х', ? — координаты конца).

3) Каждой волнистой линии сопоставляется потенциал V (x~x')=U (г — г') 8 (t — t').

4) Производится интегрирование по координатам всех вершин (d4x = dr dt), суммирование — по всем внутренним спиновым переменным а.

п F

5) Полученное выражение умножается на і (—1) , где F — количество замкнутых петель. § 9] правила построения диаграмм" 105

6) Если в выражении встречаются функции 0<°) от нулевого временного аргумента, то их надо понимать как предел G(0K-O).

Рассмотрим, например, поправку второго порядка. Соответствующие топологически неэквивалентные связанные диаграммы изображены на рис. 8.

Согласно сформулированным правилам, соответствующие аналитические выражения имеют вид

— J ^tX1 CiiX2 CiiX3 dix4G(^l (х — X1) G^2 (х, — х2) X

X -X') G^3 (0) G^1 (0) V (X1 — х3) V (х2~ х4), а)

- f CiiXl . . . d iXiGa-Jl (X - X1) Gt-X (X1 - х2) G^3 (х2 - х3) X

X G^4 (х3 — х4) 0$ (х4 — *') 1/ (X1 — х2) 1/ (х3 — х4), б) -f- J dl X1 ... d4 X4GiaJl (х — X1) G(r% (X1 — х2) G^, (х2 — х3) X X 0? (х3 - X') GZ (0) V (X1 - х4) V (х2 - х3), в)

+ J dix1 ... dixiG(al (х — xi) (xi — хг) 0S, (х2 ~ хз) X

X 0? (х3 - X') G^4 (0) V (X1 - х2) V (х3 - х4), г)

- J d'xx .. . dlX4Gal (х - xi) (xi - х') °№ (*2 - хз) X

X Grl (*з - Ой. (0) V (X1 - х2) V (х3 - х4), д) + f Sx1 ... Jx4Oll (х — xi) °г?Э (xi — х') 0Z (х2 — хз> X X 0?, (х3 — х4) 0<°>2 (х4 — х2) 1/ (X1 — х2) V (х3 - х4), е) -f J ^4X1 . . . dxx4G% (х — X1) G^2 (х, — х2) G^3 (х2 — х3) X X 0? (X3 - X') 0<°>4 (0) V (X1 - X3) V (х2 - х4), Ж)

— J dix1 ... dix4G«°> (х — X1) G<°>2 (X1 — х2) G^3 (х2 — х3) X X (х3 - х4) 0? (х4 — x/)V(x1 — х4) 1/ (х2 - х3), з)

J" ^ xi • ¦ ¦ d X4Ga-Jl (х X1) Gy1Y2 (Xj х2) Gy2|3 (X2 х3) X

X 0?, (х3 - х4) 0? (х4 - X') V (X1 - х3) V (X2 - х4), и) + f d4Xl . .. d4X4Gl01?, (X — X1) G^2 (X1 - х2) 0? (х2 - ?) X

X O^4 (х3 — х4) G<°>, (x4 — x3) V (X1 — x3) V (x2 — х4). к) 106-

методы квантовой теории поля при T=O [гл. II

Для случая двухчастичного взаимодействия теорию возмущений можно представить в несколько другой, более симметричной форме. Она оказывается удобнее, когда взаимодействие зависит от спинов. Гамильтониан такого взаимодействия имеет вид

H

4/сос2)^c--^w2)^соrfrIrfr2- о-!)

Интеграл J Hintdt, входящий в оператор S1 мы представим-в виде, симметричном по всем переменным,

/ Hlnt M =

=4 / • • • / rf4xI • • • dtxK (*») 'К (**) tZ. № Хл)х

хы*4)<м*8)- <9-2)

Ввиду антикоммутативности ф-операторов Г*0) можно считать антисимметричной функцией относительно перестановок

в/ ej







0J ej v^Ky 3J UJ KJ

jc1-jj ^t x2j2 или x3f3<ix4f4. Функция Г(0) может быть получена из величины

иьь. ьь (rI — rl) s (-tI — к) 8 (xi — хъ) 8 (х2 — хд

вычитанием аналогичного выражения с переставленными аргументами 3 и 41). Вычислим поправку первого порядка

') При такой записи, со знаком «плюс» берется член, соответствующий «переходу» -Ar1Y1 JT3Y3, л2'(2 Xi-Jt (ср. с (9.1)). Это необходимо помнить при определении знака диаграмм (см. ниже). § 9] правила построения диаграмм" 105

в гриновской функции:

SG(1) = — ^ J Ci4Xl ... /x4r(T7T:,№(xi*2. X3X4) X-

X <т(фв (х) фэ+ (X') (X1) (X2) фї4 (X4) (X3)) ) (в символе усреднения (...) мы везде будем опускать индекс связности). Ввиду антисимметрии Г(0) относительно своих аргументов мы получаем отсюда один член

і J CiiXl d4x2 d4xu Ci4X4Gayl (х — X1) GiZ (х3 — х2) X

X (X4 х') 1 у'Ї2; y5f,(x1x2; X3X4).

Величину Г(0) будем обозначать на диаграммах светлым квадратом. Таким образом, диаграмма первого порядка имеет вид, изображенный на рис. 9.

M

a; J;

Рис. 9. Рис. 10.

Во втором приближении имеется всего три связанные и топологически различные диаграммы (рис. 10). Соответствующие выражения равны

— f Cl4Xl ... /х80<°', (X - X1) 0? (X3 - X') Gfl (X4 - х5) X

X Ojrj2 (х7 х2) оЦ6 (х8 х6) Г«)2, TsT< (X1X2, X3X4) X

X № (X5X6, X7X8), а)

— f Ci4Xl ... d4x8G<°>, (X — X1) 0?, (X3 - X5) G<°) (X7 — х') X

X (х4 х2) 0Ц6 (х8 х6) № (X1X2, х3х4) X

X ГЦ„ Т718(хях6, X7X8) б)

— jf d\ • ¦ ¦ d4XsG^l (х — X1) G^5 (х3 — х5) X

X G^2 (х7 - х2) 0? (X8-X') G^e (х4 - х6) X

X № (X1X2, X3X4) № (х5х6, X7X8). Отметим, что последнее слагаемое содержит множитель 1J2. 108- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II

Вычисление поправок «-го порядка производится так:

1) Изображаются все топологически неэквивалентные диаграммы (в данном случае все диаграммы, получающиеся перестановкой вершин четырехугольника, топологически эквивалентны).

2) Каждой линии сопоставляется гриновская функция

3) Каждому четырехугольнику сопоставляется функция

Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed