Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 29

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 129 >> Следующая


Подчеркнем еще раз, что операторы ф, входящие в (8.7) (в том числе и в Hint), подчиняются уравнениям для невзаимодействующих частиц. § 8] ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ 95

Разложим .S(oo) в числителе формулы (8.7) по степеням Hint. При этом получим:

OO

S(OO)=I-/ f HintM +

— СО

со

+ tIT 11 Т[Нш Cl) нш (?)] dt2+ ...,

— со

OO со со

п-О —00 —00

X W+ (Xr)HintHl) .. . HintHn)]). (8.9)

Величину (S(oo)) в знаменателе мы пока разлагать не будем. Гамильтониан взаимодействия Hint, как правило, представляет собой интеграл по пространственным, а иногда и по временным переменным от произведения некоторого числа операторов ф (конкретные примеры будут рассмотрены ниже). Таким образом, каждый член ряда (8.9) содержит среднее от хронологизированного произведения нескольких операторов поля частиц в представлении взаимодействия.

Ввиду этого нам следует, прежде всего, рассмотреть выражение типа

(T(ABCD ... XYZ)),

где А, В, . .., X, Y, Z — операторы поля в представлении взаимодействия (напомним, что эти операторы совпадают с соответствующими операторами для невзаимодействующих частиц).

Каждый из операторов поля можно разбить на два слагаемых. Одно из них, действуя на функцию основного состояния, дает нуль. Эту часть можно назвать «оператором уничтожения». В фононном операторе (7.13) это — сумма с bk, а в фермионном операторе (6.14) это — часть суммы с \р\ > Po- Другая часть, которую можно назвать «оператором рождения», обладает тем свойством, что эрмитовски сопряженный с ней оператор дает нуль, действуя на основное 96-

МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. ii

состояние. Назовем нормальным произведением нескольких операторов

N (AB ... XYZ)

произведение, в котором все «операторы рождения» поставлены слева от «операторов уничтожения», а знак соответствует четности перестановки фермиевских операторов. Далее, назовем «связью» двух операторов разность

AcBc= T(AB)-N(AB).

Теперь покажем, что Г-произведение всегда можно выразить через всевозможные /V-произведения со всеми возможными связями, а именно:

T(ABCD ... XYZ) = N(ABCD ... XYZ) +

+ N (AcBcCD . .. XYZ)+ N (AcBCcD . .. XYZ) + ...

... -Ar N (AcBaCa ... XcYbZb). (8.10)

Это соотношение называется теоремой Вика (см. [24]).

Прежде всего, отметим, что одновременная перестановка операторов в обеих сторонах равенства (8.10) не нарушает этого соотношения. Следовательно, без ограничения общности мы можем считать, что порядок времен операторов соответствует их расположению в (8.10). Для того чтобы получить из T-произведения N-Tiроизведение, надо взять все операторы рождения и последовательно переставлять со всеми операторами уничтожения, стоящими левее их. При этом мы получим сумму А/-произведений того типа, который написан в (8.10). Однако в нее будут входить связи только тех операторов, у которых порядок в Г-произведении отличается от порядка в А/-произведении. Но так как связи операторов, для которых оба порядка эквивалентны, равны нулю, мы можем считать, что в правую часть (8.10) входят нормальные произведения со всеми возможными связями. Таким образом, соотношение (8.10) доказано.

С помощью формул (6.14) и (7.13) нетрудно убедиться в том, что связи фермиевских операторов (лг') и а также двух фононних операторов (р(х) и f(x') представляют собой просто числа, а все остальные равны нулю. § 8] Основные принципы диаграммной техники 97

тг Y 1 арар — ар ар + арар I X

у і I Р \ >ра IPl <РО )

N,/ gUpr-p'r'-S0 (р) t + % (p') <') __

= -^2 e>P(r-n-,4{p){t-n при f>tt

\Р I <Ро

Jr Yi 1 — арар — ар ар + арар I X

V I 1Р|>Д> IPl <Ра >

у gl [pr-p'r'-t0 (P) t + S0 (p') /'] _

= -JL У при

К

Ipl > Po

В силу определения нормального произведения его среднее по основному состоянию равно нулю. Следовательно,

AcBc = (T(AB)).

После этого, взяв среднее по основному состоянию от (8.10), получаем:

(T(ABCD . .. XYZ)) = (T(AB)) (T(CD)) ... (T(YZ)) ±

± іT(AC)) (T(BD)) . . . (T(YZ)) ± ... (8.11)

Таким образом, наше среднее разбивается на сумму всех возможных произведений средних по основному состоянию от отдельных пар операторов. Знак перед каждым членом, как всегда, соответствует четности перестановки фермиевских операторов. Из формулы (8.11), в частности, следует, что среди операторов А, В, С, ... обязательно должно быть четное число операторов каждого поля. Если принять во внимание определение гриновской функции (7.1), то мы приходим к выводу, что среднее от T-произведения любого числа операторов поля выражается как сумма произведений свободных гриновских функций.

3. Диаграммы Файнмана. Теперь вернемся к исходному выражению (8.9). Поскольку Hint есть интеграл от произведения операторов ф, то каждый член суммы в (8.9) может быть преобразован согласно формуле (8.11). Полученный результат можно представить в очень наглядной форме при

Например,

98 мётоды квАЯтобой теорий поля при V=O [гл. и

помощи так называемых диаграмм Файнмана. Лучше всего это проиллюстрировать на конкретном примере. Предположим, что рассматриваемая система состоит из одинаковых ферми-частиц с парными силами взаимодействия, не зависящими от спина. Согласно § 6, Hint имеет вид
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed