Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 28

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 129 >> Следующая


S

t > (7.41)

G (г, г', t -1>) = / 2 (f C-Os0 С)) ^

8 . ,

где ф(г) и ф(г0 — шредингеровские операторы. Если продолжать действовать дальше, как в случае отсутствия внешнего поля, то мы получим формулу типа (7.21) с какими-то комплексными функциями А и В. Это неудобство можно обойти, если взять симметризованную комбинацию

у [О (г, г', t — t') + G(r', г, * — *')]• (7.42)

В смысле зависимости от со фурье-компонента этой функции обладает всеми свойствами функции G при отсутствии внешнего поля. Для нее будут справедливы все формулы (7.21) — (7.27) с той лишь разницей, что вместо параметра р все величины будут зависеть от параметров г, г'.

Если мы рассматриваем невзаимодействующие друг с другом ферми-частицы во внешнем поле, то операторы ф (г) удобно выбрать в виде ф (г) = 2 os<?s (г)> где ?s(r) — собственные 92-

МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II

функции частицы в поле. В этом случае находим вместо (7.17)

( 1 —п., t > 0,

о (г. г', ^) = -/|т;(го?,(г)г",»-''>|

где

SiCjx1

"'Ч 0.

(7.43)

Si > IX,

a S5 означает энергию частицы в состоянии Cpi. Взяв временною фурье-компоненту, получаем:

Введем теперь величину, аналогичную А к В в (7.20), А (г, Ґ, E)dE =2 (О Ti (г). E < Si < E + dE.

S

Положим г = г' и проинтегрируем это соотношение по dV. При этом ввиду условия нормировки функции Cpi (г) в правой стороне мы получим просто число уровней dN в интервале dE. Таким образом,

/

ja, пч dN (E) drA(r, Г, Е)=~ к '

dE

Формула (7.44) через функцию А записывается в виде

G(г, г', со) = I dE-,Air'/'' fcL-г-

4 у J ш — Е + іЬ sign (E — fx)

Отсюда следует, что мнимая часть G (г, г, ш) (при г = г' А — действительная и положительная величина) равна

( —тгACr, г, со), ш > ix,

Im О (г, г. <о) = | 1 х

I TzA (Г, Г, со), со < ]Х. Таким образом, получаем:

= - ^ sign (Е - jx) J Im G (г, г, ?) dr. (7.45) § 8] ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ

93

§ 8. Основные принципы диаграммной техники

I. Переход от переменной N к переменной {I. Прежде чем заняться вычислением гриновской функции, мы перейдем к новым переменным. До сих пор мы рассматривали систему с заданным числом частиц. В дальнейшем нам будет удобно считать это число переменным и задавать химический потенциал. По сути дела, такие переменные уже применялись нами выше для фононов, где было ja = О и число частиц в системе не было задано. Однако в случае ферми-системы у нас было задано именно число частиц, а химический потенциал (а, входящий в формулу, следовало рассматривать как некоторую функцию этого числа. При практических расчетах более удобно считать jx независимой переменной, а затем уже в окончательном результате переходить к заданному числу частиц.

Переход от одной независимой переменной к другой может быть произведен следующим образом. Как известно, волновые функции и энергетические уровни системы могут быть получены из вариационного принципа

(W*HW) = min (8.1)

при условии

(WNW) = const, (8.2)

где H и N — гамильтониан и оператор числа частиц. Вместо этого можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа и находить абсолютный минимум выражения

(W* (H-V-N)W),

где |х — константа, определяемая потом с помощью условия (8.2). Таким образом, переход от заданного N к заданному (а сводится к замене гамильтониана оператором H—\iN. Ввиду того, что оператор N коммутирует с гамильтонианом, легко найти формулы преобразования операторов ф(;с):

Фи W = e~ivJ*1 lWv О) e^t = e^t Флг (*)¦ (8-3) 94-

МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. ii

поскольку оператор уменьшает число частой на единицу. Аналогичным образом для оператора (х) имеем:

= (8.4)

Гриновская функция определяется как

G^(x, х') = G„(;c, х')е1»«-<">. (8.5)

Отсюда следует, что все выводы предыдущего параграфа остаются справедлі произвести замену

остаются справедливыми по отношению к G11, если только



W ><V) + !^ (8-6)

Поскольку для вычисления числа частиц и их импульсного распределения всегда требуются только значения G при t = t', то соответствующие формулы (7.37) и (7.38), очевидно, не изменяются. Полюсы новой гриновской функции дают энергию возбуждений, отсчитанную от уровня химического потенциала.

Как уже сказано, пользоваться функциями G11 более удобно для практических расчетов. Поэтому в дальнейшем мы, как правило, будем иметь в виду именно такое определение гриновской функции и будем обозначать ее просто буквой G. В тех случаях, когда для анализа общих свойств функции G будет считаться заданным число частиц (как в предыдущем параграфе), это будет специально оговорено.

2. Теорема Вика. Теперь перейдем к вычислению гриновской функции. Полученная в § 6 формула (6.32) для перехода к представлению взаимодействия дает возможность представить ряд теории возмущений в простой и компактной форме. Применительно к гриновской функции формула (6.32) имеет вид

G (У х'\ — -1 (Ц (X) (X') S (оо)) о (X, X ) ЩЩ-' (8-7)

где

-< J

»Intdt

S(co)=T\e /. (8.8)
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed