Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
S
t > (7.41)
G (г, г', t -1>) = / 2 (f C-Os0 С)) ^
8 . ,
где ф(г) и ф(г0 — шредингеровские операторы. Если продолжать действовать дальше, как в случае отсутствия внешнего поля, то мы получим формулу типа (7.21) с какими-то комплексными функциями А и В. Это неудобство можно обойти, если взять симметризованную комбинацию
у [О (г, г', t — t') + G(r', г, * — *')]• (7.42)
В смысле зависимости от со фурье-компонента этой функции обладает всеми свойствами функции G при отсутствии внешнего поля. Для нее будут справедливы все формулы (7.21) — (7.27) с той лишь разницей, что вместо параметра р все величины будут зависеть от параметров г, г'.
Если мы рассматриваем невзаимодействующие друг с другом ферми-частицы во внешнем поле, то операторы ф (г) удобно выбрать в виде ф (г) = 2 os<?s (г)> где ?s(r) — собственные92-
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II
функции частицы в поле. В этом случае находим вместо (7.17)
( 1 —п., t > 0,
о (г. г', ^) = -/|т;(го?,(г)г",»-''>|
где
SiCjx1
"'Ч 0.
(7.43)
Si > IX,
a S5 означает энергию частицы в состоянии Cpi. Взяв временною фурье-компоненту, получаем:
Введем теперь величину, аналогичную А к В в (7.20), А (г, Ґ, E)dE =2 (О Ti (г). E < Si < E + dE.
S
Положим г = г' и проинтегрируем это соотношение по dV. При этом ввиду условия нормировки функции Cpi (г) в правой стороне мы получим просто число уровней dN в интервале dE. Таким образом,
/
ja, пч dN (E) drA(r, Г, Е)=~ к '
dE
Формула (7.44) через функцию А записывается в виде
G(г, г', со) = I dE-,Air'/'' fcL-г-
4 у J ш — Е + іЬ sign (E — fx)
Отсюда следует, что мнимая часть G (г, г, ш) (при г = г' А — действительная и положительная величина) равна
( —тгACr, г, со), ш > ix,
Im О (г, г. <о) = | 1 х
I TzA (Г, Г, со), со < ]Х. Таким образом, получаем:
= - ^ sign (Е - jx) J Im G (г, г, ?) dr. (7.45)§ 8] ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
93
§ 8. Основные принципы диаграммной техники
I. Переход от переменной N к переменной {I. Прежде чем заняться вычислением гриновской функции, мы перейдем к новым переменным. До сих пор мы рассматривали систему с заданным числом частиц. В дальнейшем нам будет удобно считать это число переменным и задавать химический потенциал. По сути дела, такие переменные уже применялись нами выше для фононов, где было ja = О и число частиц в системе не было задано. Однако в случае ферми-системы у нас было задано именно число частиц, а химический потенциал (а, входящий в формулу, следовало рассматривать как некоторую функцию этого числа. При практических расчетах более удобно считать jx независимой переменной, а затем уже в окончательном результате переходить к заданному числу частиц.
Переход от одной независимой переменной к другой может быть произведен следующим образом. Как известно, волновые функции и энергетические уровни системы могут быть получены из вариационного принципа
(W*HW) = min (8.1)
при условии
(WNW) = const, (8.2)
где H и N — гамильтониан и оператор числа частиц. Вместо этого можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа и находить абсолютный минимум выражения
(W* (H-V-N)W),
где |х — константа, определяемая потом с помощью условия (8.2). Таким образом, переход от заданного N к заданному (а сводится к замене гамильтониана оператором H—\iN. Ввиду того, что оператор N коммутирует с гамильтонианом, легко найти формулы преобразования операторов ф(;с):
Фи W = e~ivJ*1 lWv О) e^t = e^t Флг (*)¦ (8-3)94-
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. ii
поскольку оператор уменьшает число частой на единицу. Аналогичным образом для оператора (х) имеем:
= (8.4)
Гриновская функция определяется как
G^(x, х') = G„(;c, х')е1»«-<">. (8.5)
Отсюда следует, что все выводы предыдущего параграфа остаются справедлі произвести замену
остаются справедливыми по отношению к G11, если только
(О
W ><V) + !^ (8-6)
Поскольку для вычисления числа частиц и их импульсного распределения всегда требуются только значения G при t = t', то соответствующие формулы (7.37) и (7.38), очевидно, не изменяются. Полюсы новой гриновской функции дают энергию возбуждений, отсчитанную от уровня химического потенциала.
Как уже сказано, пользоваться функциями G11 более удобно для практических расчетов. Поэтому в дальнейшем мы, как правило, будем иметь в виду именно такое определение гриновской функции и будем обозначать ее просто буквой G. В тех случаях, когда для анализа общих свойств функции G будет считаться заданным число частиц (как в предыдущем параграфе), это будет специально оговорено.
2. Теорема Вика. Теперь перейдем к вычислению гриновской функции. Полученная в § 6 формула (6.32) для перехода к представлению взаимодействия дает возможность представить ряд теории возмущений в простой и компактной форме. Применительно к гриновской функции формула (6.32) имеет вид
G (У х'\ — -1 (Ц (X) (X') S (оо)) о (X, X ) ЩЩ-' (8-7)
где
-< J
»Intdt
S(co)=T\e /. (8.8)