Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 31

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 129 >> Следующая


Полный вклад всех этих диаграмм будет равен

(-о-ЦГ/ •¦¦ IdtI-

... dt т (Т(ф (х) ф + (X') Hint (tx) . . . Hint (tj ))с X

Х-^-Ц / ¦ ¦ - I dtm+l ...dtn (T(Hint(tm+l) .. . H(tn))).

Просуммируем вклады от всех диаграмм, любых порядков, содержащих определенную связанную часть и любые несвязанные части. Очевидно, при этом получим:

<-0

. . . dtm (X) (х0 Hint (tx) . . . Hinl (tm) ))с X

( V

Xjl -I J dtm+l(Hini(tm+,))-

\ — СО

- ІI I dtm^ dtm^{Т{Нш (tl) Нш (tm! 2))) + ¦ • ¦

¦•• +-tTT- / ¦¦¦ /dt^ ••¦ dt«H*X

X {Т(НШ (tm+l) . . . Hint (tm >rk) ))+.--1

Вернемся к исходной формуле (8.7). Если разложить стоящую в знаменателе величину (5(со)) в ряд по степе- 102- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II

ням Hlnt, получится в точности то же самое выражение, которое заключено в фигурные скобки последней формулы Таким образом,

<Г(ф (X) (*') 5 (оо) )> = <Г(ф (X) (х0 5 (со) )>с (S (оо))

и, согласно (8.7),

О (х, х0 = -/(7-(ф(х)ф+(х')5Ссо))>е. (8.14)

Полученное правило справедливо не только по отношению к гриновской функции. Оно сохраняется при вычислении любого выражения типа (6.32) с произвольным количеством операторов поля. Это заключение будет важно для дальнейшего. На практике установленное правило дает возможность опустить множитель (5 (со)) в знаменателе формулы (8.9) и в то же время не учитывать вклад несвязанных диаграмм.

Дальнейшее упрощение возникает вследствие того, что все типы спариваний в выражении

-«i^/...уч...

... dt т (Т (ф (X) ф+ (х0 Hint (to . .. Hint (tn) ))е,

отличающиеся только перестановкой Hint, дают одинаковый вклад. Благодаря этому мы можем опустить множитель 1/ml и учитывать только такие спаривания, которые приводят к топологически неэквивалентным диаграммам, т. е. таким, которые нельзя получить друг из друга перестановкой операторов Hint. Вклад от каждой такой диаграммы уже не содержит множителя, существенно зависящего от порядка диаграммы. т. Благодаря этому каждая диаграмма может быть разбита на элементы, которые можно рассматривать отдельно как поправку к той или иной гриновской функции. К числу несущественных зависимостей от т относится, очевидно, множитель Xm1 где X — константа. Такой множитель, не мешает разбиению диаграммы на элементы. Наоборот, появление множителя типа Ijm уже препятствовало бы такому разбиению и суммированию частей диаграммы по отдельности. Правила построения диаграмм

103

§ 9. Правила построения диаграмм для различных типов взаимодействия

1. Диаграммная техника в координатном пространстве. Примеры. Теперь перейдем к детальному изложению правил построения файнмановских диаграмм в различных случаях. Основой всякой диаграммы является линия, изображающая гриновскую функцию ферми-частицы или фонона. Первую мы будем изображать сплошной, а вторую — пунктирной линией. На линии мы будем ставить стрелку

a; 6J _______^

аїос * ~z{? ar/? * *

Рис. 6. Рис. 7.

обозначающую ее направление: линия выходит из точки с координатами X и проекцией спина а и приходит в точку с координатами х' и проекцией спина ?. Так линия на рис. 6, а означает гриновскую функцию

x')^G^(x-x'),

а на рис. 6,5 — гриновскую функцию

0|2 (*',*) е= Qg (*'—*).

На фононной линии стрелку можно не ставить (рис. 7), поскольку, как мы видели в § 7, D(°> является четной функцией относительно X — х'. По координатам точек соединения линий проводится интегрирование (по всему пространству и по времени от — со до со). Кроме того, проводится суммирование по спиновым переменным таких вершин. Ниже дан анализ конкретных случаев. А. Двухчастичное взаимодействие. Наиболее простые диаграммы Файнмана при таком взаимодействии уже были рассмотрены нами выше (рис. 4) с целью объяснения соответствия между формулами и диаграммами. Как уже выяснено, несвязанные диаграммы следует отбросить вместе с множителем (5(со))-1. Таким образом, в первом порядке остаются только диаграммы 4, а, 4, б, 4, а' и 4, б'. Однако 104- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II

ввиду того, что по координатам X1 и X2 производится интегрирование (а по соответствующим спиновым переменным— суммирование), оказывается, что диаграмма а' равна диаграмме а, а диаграмма б' равна диаграмме б. Это приводит к компенсации множителя 1/2 в Hint. Аналогичное положение имеет место и в высших приближениях. Таким образом, рецепт заключается в том, чтобы не писать этого множителя и рассматривать только топологически неэквивалентные диаграммы (например, а и б).

Кроме того, необходимо еще обратить внимание на следующие обстоятельства. Как уже отмечалось выше, знак, с которым входит каждая диаграмма, является следствием четности перестановки фермиевских операторов t]>. Нетрудно увидеть, что изменение знака связано с образованием замкнутой петли на диаграмме. Поэтому знак диаграммы определяется множителем (—где F— количество замкнутых петель.

Другое обстоятельство, заслуживающее внимания, — это случай, когда времена в обоих аргументах одной из функций 0(°) совпадают. Это происходит только тогда, когда спариваются два оператора из одного гамильтониана Hint. Ввиду того, что порядок операторов в Hint задан (все стоят слева от всех ф), такие G<°) надо понимать как предел Iim 0(t, / + 8) = 1imG(— 8) = / (г,) ф (r2)). Сформу-
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed